§5 Ряды тейлора и лорана, вычеты
Функция f(z),
аналитическая в круге |z-z0
|<R,
однозначно представляется в нём рядом
Тейлора
,
где
.
Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора при z0=0 имеет вид
/
Если f(z)
аналитическая
в кольце r<|z-z0|<R
,то для неё
существует ряд Лорана
,
где
.
Вычетом аналитической
функции f(z)
в изолированной
особой точке z0
называется
комплексное число, равное
,
т.е. коэффициенту c-1
ряда
Лорана.
Если z0
–полюс первого порядка функции
,
то
.
Если z0
–полюс m-го
порядка функции f(z),
то
.
Теорема о вычетах.
Если f(z)
аналитическая
функция в замкнутой области D
за исключением конечного числа
изолированных особых точек
,
лежащих внутри области D,
то
,
где Г – граница области D.
ЗАДАНИЕ 11
Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности изолированной особой
точки и определить характер этой особой точки.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
ЗАДАНИЕ 12
При помощи вычетов вычислить интеграл.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
Функциональный анализ §6 линейные пространства
Определение 1.
Пусть
H
–линейное пространство и
.
Число
называется скалярным
произведением,
если выполняются следующие свойства:
1.
;
2.
-число;
3.
.
В пространстве
-
квадратично интегрируемых функций
.
Определение
2.
называется
нормой элемента
.
В
.
Неравенство
Коши-Буняковского:
.
ЗАДАНИЕ 13
С помощью диаграмм Эйлера-Венна проверить справедливость утверждений:
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Если
,
то
и
ЗАДАНИЕ 14
Вычислить скалярное
произведение
в пространстве
,
если
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
ЗАДАНИЕ 15
Оценить скалярное произведение из задания 13 с помощью неравенства Коши-Буняковского.
§7 Ряды фурье
Ортогонализация по Шмидту состоит в следующем.
Пусть дана система элементов h1 ,h2,…, образующих базис в евклидовом пространстве Н. Построим из этих элементах ортонормированную систему
e1, e2,…
Функция, принадлежащая
пространству
, раскладывается по системе ортогональных
функций:
в
ряд
.
Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:
ЗАДАНИЕ 16
Применить процесс
ортогонализации к базису
пространства R3.
Получить ортонормированный базис.
ЗАДАНИЕ 17
Разложить в ряд
Фурье периодическую функцию с периодом
Т=
.
1) y=
2) y=
3) y=
4) y=
5) y=
6) y=
7) y=
8) y=
9) y=
10) y=
11) y=
12) y=
13) y=
14) y=
15) y=
16) y=
17) y=
18) y=
19) y=
20) y=
21) y=
22) y=
23) y=
24) y=
ЗАДАНИЕ 18
Разложить в ряд Фурье функцию.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
ЗАДАНИЕ 19
Доопределяя
необходимым образом заданную в промежутке
функцию до периодической, получить для
неё ряд Фурье
a) по косинусам; б) по синусам.
y
y
0 1
4
x
-1
2
1
-3
0 1
3 x
18.1 18.2
y
y
0 1 4 х 0 1 4 х
-2
-3 -3
18.3 18.4
y
y
0 1 2 4
х 1
0 3
-3 -1 1
-4 -2
18.5 18.6
y
y
2
1
0 3 0 1 3
1 x -1 х
-2
18.7 18.8
y
y
1 x x
0 0 2 3
-1 2 3
-2
18.9 18.10
y
y
1 1
0 1 2 x 0 2 3 18.11 18.12
y y
2 2
0 2 4 х 0 2 4 х
18.13 18.14
y
y
3 4
1 2
0 2 4 х 0 1 3 х
18.15 18.16
y y
2
0 2 4 5 х 0 1 3 4 х
-1 -1
18.17 18.18
y y
2
1
0 2 3 х 0 1 3 х
18.19 18.20
y
y
2
1 1
0 1 3 x 0 2 3 x
18.21 18.22
y
y
1
0 3 4 х 0 2 4 х
-1
18.23 18.24