7.2. Метод подбора частного решения лнду по виду правой части (метод неопределенных коэффициентов).

Этот метод применим к решению ЛНДУ с постоянными коэффициентами вида (3) только в случаях, когда его правая часть :

• многочлен;

• показательная функция;

• тригонометрические функции (или одна из них);

• линейная комбинация перечисленных функций;

• произведение перечисленных функций.

Таким образом, рассматриваемый метод применяется при следующем виде правой части ЛНДУ:

, (2)

где - многочлен степени , а - многочлен степени , -заданные числа. Возможны разновидности этого вида правой части в зависимости от того, содержатся или нет в тригонометрические функции.

Сущность метода состоит в том , что :

• по характерному виду правой части ЛНДУ и корням характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ определяется общий вид частного решения уравнения (ниже рассматриваются различные случаи и соответствующих им );

• неизвестные коэффициенты многочлена или тригонометрических функций в искомом находятся методом неопределенных коэффициентов. Он состоит в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях ( или при одноимённых тригонометрических функциях) левой и правой частей уравнения, полученного в результате подстановки в данное ЛНДУ частного решения ( в его общем виде) и его производных ;

• найденные коэффициенты подставляются в предварительно установленный общий вид , в результате находится .

• далее в соответствии со структурой общего решения ЛНДУ суммируется ЛОДУ и ЛНДУ и получается

.

Рассмотрим два различных вида ( и их частные случаи) правой части ЛНДУ (3) и соответствующие им виды частного решения (см. таблицу 3).

Таблица 3.

Частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений по виду его правой части

	Вид правой части и его частные случаи	Вид частного решения
I	, где -многочлен -ой степени;-постоянное число.	, где - многочлен той же степени, что и ; - та же показательная функция; - число корней характеристического уравнения, равных , т.е. Примеры многочленов разных степеней:
	Случай 1.	, где: - число корней характеристического уравнения, равных ; - многочлен той же степени, что и ;
	Случай 2. где постоянное число(многочлен 0-ой степени).	, где - та же показательная функция; - число корней характеристического уравнения, равных . А- постоянное число ( многочлен 0-й степени), которое находится методом неопределённых коэффициентов.
II	где - многочлен степени , а - многочлен степени , -заданные числа.	, где: и - многочлены степени , (где ). - те же самые тригонометрические функции, что и в ; - та же показательная функция; - число корней характеристического уравнения, совпадающих с , т.е.
	Случай 1. , т.е. - многочлены 0-й степени, т.е. постоянные числа, , где - действительные числа ( в частности, возможно или ).	, где A и В- действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов; - та же показательная функция; - те же самые тригонометрические функции, что и в ; - число корней характеристического уравнения, совпадающих с .
	Случай 2. , , , где - действительные числа .	, где A и В- действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов; - те же самые тригонометрические функции, что и в ; - число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

Рассмотрим сущность метода подбора частного решения ЛНДУ по виду правой части на примерах.

I вид. Правая часть ЛНДУ

, (1)

где - многочлен -ой степени, - постоянное число. Тогда общий вид частного решения: , где - та же самая показательная функция, что и в ; - многочлен той же степени, что и ; - число корней характеристического уравнения, равных .

Далее путем подстановки общего вида в линейное неоднородное дифференциальное уравнение находятся неопределённые коэффициенты многочлена .

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение.

• Находим общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

.

Характеристическое уравнение : . Его корни . Общее решение ЛОДУ: .

• Правая часть . Следовательно, общий вид частного решения ЛНДУ: , (, т.к. оба корня характеристического уравнения совпадают с ). Итак,

.

• Найдем неизвестные коэффициенты А и В. Для этого подставим в данное дифференциальное уравнение . Предварительно найдем их, а затем умножим соответственно на 4, 4 и 1:

Сложим левые и правые части этих равенств, получим алгебраическое уравнение с тремя неизвестными . Разделим обе части полученного уравнения на . Приравниваем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях :

Решение системы: .

• Подставим A и B в общий вид , получим

.

• Найдем общее решение ЛНДУ:

.

Ответ: .

Замечание. Следует обратить внимание на то, что полученное в данном примере значение r=2 (кратность корней) привело к двум не информативным алгебраическим уравнениям (*).

В практике решения ЛНДУ распространены следующие частные случаи I-го вида правой части f(x).

Случай 1.

Правая часть ЛНДУ: , где - многочлен n-ой степени, т.е.

.

Таким образом, в .

Тогда общий вид частного решения: , где - многочлен той же степени, что и , r – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Далее, дифференцируя функцию и подставляя выражения в ЛНДУ, находим неопределенные коэффициенты многочлена .

Подставляя эти коэффициенты в общий вид , находим частное решение ЛНДУ.

Напомним общий вид многочленов:

• третьей степени (n=3): ;

• второй степени (n=2): ;

• первой степени (n=1): ;

• нулевой степени (n=0): .

Пример 4. Найти общее решение ДУ:

.

Решение.

• Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:

.

Характеристическое уравнение: . Его корни: .

Общее решение ЛОДУ: .

• Правая часть , следовательно общий вид частного решения ЛНДУ: , , т.к. один корень характеристического уравнения равен 0).

• Найдем неизвестные коэффициенты A и B. Для этого подставим в данное ДУ :

.

Тогда

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

.

• Подставим A и B в общий вид , получим

.

• Найдем общее решение ЛНДУ:

.

: .

Ответ: .

Случай 2.

Правая часть ЛНДУ: , где - постоянное число, т.е. в (20) - многочлен нулевой степени (=0).

Тогда общий вид частного решения: , где - та же показательная функция; - постоянное число (в общем случае ), которое находится методом неопределенных коэффициентов; - число корней характеристического уравнения, равных .

Возможен и еще один, наиболее простой, частный случай (вернее, подслучай) вида правой части ЛНДУ: , т.е. в (20) , =0. Тогда общий вид частного решения: , где - постоянное число, которое находится методом неопределенных коэффициентов, - число корней характеристического уравнения, равных нулю. Рассмотрим второй вид правой части ЛНДУ, в котором содержатся тригонометрические функции и , т.е. наиболее общий вид (19) и его частные случаи.

II вид. Правая часть ЛНДУ содержит тригонометрические функции и , с полными многочленами перед ними:

, (19)

где - многочлен -ой степени, - многочлен -ой степени.

Тогда общий вид частного решения:

,

где и - многочлены -ой степени, ; и - те же тригонометрические функции, что и в правой части ДУ; - та же показательная функция; - число корней характеристического уравнения, совпадающих с . Далее применяется метод неопределенных коэффициентов.

Пример 5. Найти общее решение ДУ:

.

Решение.

• Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:

.

Характеристическое уравнение . Его корни комплексные . Общее решение ЛОДУ:

.

• Правая часть соответствует общему виду (19), когда многочлены при и полные. В данном случае:

=1 – многочлен 0-ой степени,

– многочлен 1-й степени, , т.к. множитель (поэтому в записи он отсутствует).

Тогда этому виду правой части соответствует частное решение вида

,

т.к. , т.е. при и многочлены 1-й степени, (т.к. совпадает с корнем характеристического уравнения).

• Найдем неизвестные коэффициенты A, B, C, D.

Для этого подставим в данное ДУ Предварительно найдем их, а затем умножим соответственно на 1, 0, 1:

.

Сложив соответственно левые и правые части этих равенств, получим алгебраическое уравнение с неизвестными А, В, С, D.

Аналогично предыдущим примерам приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях соответственно левой и правой частей уравнения:

• Подставим А, B, C, D в общий вид :

• Найдем общее решение ЛНДУ:

.

Ответ: .

В практике решения ЛНДУ распространены следующие частные случаи II-го вида правой части .

Случай 1. Правая часть ЛНДУ:

,

где - известные действительные числа. Таким образом, в (19) , т.е. и - многочлены 0-ой степени.

Тогда общий вид частного решения:

,

где и - неизвестные действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов; и - те же тригонометрические функции, что и в ; - та же показательная функция; - число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

Пример 6. Найти общее решение ДУ:

.

Решение.

• Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:

.

Характеристическое уравнение: . Его корни комплексные: .

Общее решение ЛОДУ: .

• Правая часть соответствует первому частному случаю II вида правой части:

.

(=1, т.к. совпадает с корнем характеристического уравнения).

• Найдем неизвестные коэффициенты и . Для этого предоставим данное ДУ . Предварительно найдем их, а затем умножим соответственно на 5,4 и 1:

Сложим соответственно левые и правые части этих равенств, получим алгебраическое уравнение с двумя неизвестными и .

Разделим обе части полученного уравнения на . Аналогично предыдущему примеру, приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях соответственно левой и правой частей уравнения:

(*)

Вновь (как это было в примере 3) два уравнения с неизвестными коэффициентами в (*) не информативны. Из оставшихся уравнений имеем:

.

• Подставим и в общий вид , получим

.

• Найдем общее решение ЛНДУ:

.

Ответ: .

Случай 2. Правая часть ЛНДУ:

,

где известные действительные числа. Таким образом, в (19) многочлены 0-ой степени, т.е. .

Тогда общий вид частного решения:

,

где и - неизвестные действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов; и - те же тригонометрические функции, что и в ; - число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

Пример7. Определить общий вид частного решения ДУ

.

Решение.

• Составим характеристическое уравнение соответствующего ЛНДУ: . Его корни .

• Правая часть соответствует второму частному случаю II вида, следовательно

,

где (т.к. - совпадает с одним корнем характеристического уравнения).

Таким образом, - общий вид частного решения.

Ответ: - общий вид частного решения.

Обобщением всех рассмотренных случаев правой части при нахождении частного решения ЛНДУ является (19) (в таблице 3 вида II)

Завершая рассмотрение решения ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов, представим общую схему (Рис.1)

1-й этап	ЛОДУ	2-й этап ЛОДУ
что найти	-общее решение ЛОДУ	- частное решение ЛНДУ
как найти	составить характеристическое уравнение и найти его корни; по характеру корней характеристического уравнения найти общее решение (см. табл.2).	определить вид правой части ; найти соответствующий виду общий вид (см. табл. 3) с неизвестными коэффициентами; найти неизвестные коэффициенты в общем виде методом неопределенных коэффициентов ; Подставить найденные коэффициенты в .
3-й этап	Найти - общее решение ЛНДУ

Рис. 1 Общая схема решения ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов