§6 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

2. 6.1. Общие понятия

Определение 1: Дифференциальное уравнение 2-ого порядка вида

, (1)

где и данные на функции называется линейным ДУ 2-ого порядка (ЛНДУ).

Определение 2: Линейное ДУ 2-ого порядка

, (2)

где данные действительные постоянные числа, аизвестная непрерывная на интервале функция, называется линейным ДУ с постоянными коэффициентами.

Определение 3: Если в ДУ (2) на , то уравнение

(3)

называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентами.

. Однородное линейное ДУ(3), левая часть которого

такая же, как в неоднородном линейном ДУ(2),

называется соответствующим ему однородным

уравнением.

Определение 4:функции называются линейно независимыми на интервале I ,если .в противном случае функции линейно независимые.

Определение 5: Совокупность двух линейно независимых решений ДУ называется фундаментальной системой решений данного уравнения.

Теорема 6.1.(о структуре общего решения ЛОДУ):

Пусть -фундаментальная система решений ДУ, тогда общее решение этого уравнения имеет вид

где С₁,С₂– произвольные постоянные.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение ЛНДУ с постоянными коэффициентами (2). Имеет место теорема о структуре его общего решения:

Теорема 6.2. (о структуре общего решения ЛНДУ):

Общее решение y ЛНДУ (2) есть сумма общего решения y₀ соответствующего однородного уравнения ЛОДУ и любого частного решения неоднородного уравнения:

Таким образом, чтобы найти общее решение ЛНДУ, нужно найти общее решение соответствующего ЛОДУ и какое-нибудь частное решение ЛНДУ. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной.

Частное решение ЛНДУ можно найти методом вариации произвольных постоянных или методом подбора (метод неопределенных коэффициентов).

§6. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

ДУ вида

( 3)

называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентами.

Где a,b,c-постоянные вещественные числа.

Будем искать частные решения ДУ (3) в виде , где , тогда .

Подставляя значения в ДУ (3), находим

Так как то получим следующее алгебраическое выражение

(4)

которое называется характеристическим уравнением для ЛОДУ (3).

Уравнение (4) является уравнением 2-ой степени и имеет 2 корня (действительных или комплексных, среди них могут быть и равные).

Каждому корню характеристического уравнения соответствует частное решение , вид которого зависит от характера корня.

Совокупность частных линейно независимых решений составляет фундаментальную систему решений ЛОДУ (3).

Тогда общее решение ЛОДУ (12) имеет вид:

Определение 7: Компоненты общего решения дифференциального уравнения (3) определяются в зависимости от характера корней характеристического уравнения (4) следующим образом:

1) каждому действительному простому (т.е. не кратному) корню в общем решении соответствует слагаемое вида ;

2) каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует слагаемое вида

;

3) каждой паре комплексных сопряженных простых корней и в общем решении соответствует слагаемое вида ;

4. каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности в общем решении соответствует слагаемое вида

. (16)

Рассмотрим частные случаи линейных однородных уравнений ЛОДУ:

а) если =2, т.е. ЛОДУ второго порядка;

Способ решения ЛОДУ второго порядка состоит в том, что:

• при помощи замены

- через , - через , - через 1

составляется характеристическое уравнение, соответствующее данному ЛОДУ;

• решается характеристическое уравнение, находятся корни:

• устанавливается характер корней (действительные или комплексные, различные или кратные) и определяется соответствующая этим корням фундаментальная система решений

• составляется общее решение ЛОДУ:

.

Последовательность нахождения общего решения ЛОДУ второго порядка и приемы составления фундаментальной системы решений представлены в таблице 2 .

Таблица 2.

Общее решение (ЛОДУ) второго порядка.

Порядок	n=2
Общий вид ЛОДУ
Характеристическое уравнение
Характер корней	- действительные различные числа	действительные одинаковые числа	- комплексно сопряженные числа
Фундаментальная система решений
Общее решение

Пример1. Найти фундаментальную систему решений ДУ:

Решение.

• характеристическое уравнение:

;

• корни ;

• так как корни действительные различные, то фундаментальная система решений: .

Ответ:

Пример 2. Найти фундаментальную систему решений ДУ:

.

Решение.

• Характеристическое уравнение: ;

• корни: ;

• так как действительные числа, то фундаментальная система решений: .

Ответ: .

Пример 3. Найти фундаментальную систему решений и общее решение ДУ:

.

Решение.

• Характеристическое уравнение: ;

• корни: ;

• так как корни комплексно сопряженные, то фундаментальная система решений: ;

• общее решение .

Ответ: фундаментальная система решений;

общее решение.

Пример4. Найти фундаментальную систему решений и общее решение ДУ:

Решение.

• Характеристическое уравнение: ;

• корни: ;

• так как все корни – действительные числа и два из них одинаковы, то фундаментальная система решений

;

• общее решение .

Ответ: фундаментальная система решений; общее решение.