5. Линейная зависимость и независимость векторов.

Набор векторов называется системой векторов.

Система из векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

Система из векторов называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (1.1) тривиальная.

Замечания 1.2.

1. Один вектор тоже образует систему: при - линейно зависимую, а при - линейно независимую.

2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима

.

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно зависима.

4. Система из векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

6.Скалярное произведение

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

C∩b и обознач как (; )

(; )=

*

Свойство сккалярн произведения сразу следует из соотв св-в проекции

1. (

2. 

3. 

4. 

5. )

(= 1

(=0

(

При помощи скалярного произведения можно найти

Вырожен.вектр в координатах

Если координаты векторного произведения поменять местами то результат изменит знак

-

= -k ; ;

Вопрос 7

Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

     

 Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. са и сb;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):

i х j = k,    j х k = i,    k х i = j. Докажем, например, что iхj=k.

1) ki, kj;

2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

. Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора а=а_хi +a_yj +a_zk и b =b_xi +b_yj +b_zk . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.