Приклади розв’язання типових задач.

Обчисліть визначники:

1. а) ;

б) ;

в) .

2.

Розв’язання. Перший спосіб. За правилом трикутників маємо

Другий спосіб. Використовуючи властивості визначника, дістаємо

= = = =

= .

Третій спосіб. Розкладемо визначник за першим рядком:

= ++=.

3.

Розв’язання. У визначнику є кілька нульових елементів, проте зручно, коли нульові елементи містяться в одному рядку чи стовпцеві. Зробимо, наприклад, нульовими всі елементи першого рядка, крім першого елемента. Для цього додамо до третього стовпця перший, після чого помножимо елементи першого стовпця на -2 і додамо їх до відповідних елементів четвертого стовпця. Дістанемо

==.

Тепер розкладемо визначник за елементами першого рядка:

.

Занулимо два елементи другого стовпця. Для цього до першого і другого рядків по черзі додамо третій рядок. Тоді

.

Розкладемо утворений визначник за елементами другого стовпця:

.

Відповідь: .

4. Розв’яжіть рівняння: .

Розв’язання. Розкладемо визначник за елементами першого рядка:

=

==

.

Отже, вихідне рівняння рівносильне рівнянню

Далі маємо

; або , звідси .

Відповідь: ; .

Вправи для аудиторної роботи.

Обчисліть визначники:

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. . 11. .

12. .

13. Доведіть рівність: =авс(в-а)(с-а)(с-в).

Відповіді: 1. 66. 2. -110. 3. 121. 4. 1. 5. 5/3. 6. 0,6. 7. 13/21. 8. -5. 9. -10. 10. -15. 11. 11. 12. 12.

Самостійна робота №2

2.1. Обчисліть визначники, використовуючи:

а) метод зведення до трикутного вигляду;

б) метод розкладу визначника за елементами деякого рядка або стовпця;

в) правило трикутників.

1) . 2) . 3) . 4) .

5) . 6) . 7) . 8) .

9) . 10) . 11) . 12)

13) . 14) . 15) . 16) .

17) . 18) . 19) . 20)

21) . 22) . 23) . 24) .

25) .

2.2. Знайдіть дійсні корені рівняння:

1) . 2) .

3) . 4) .

5) . 6) .

7) . 8) .

9) . 10)

11) . 12) .

13) . 14) .

15) . 16) .

17) . 18) .

19) . 20) .

21) . 22) .

23) . 24) .

25) .

2.3. Обчисліть визначники четвертого порядку, комбінуючи метод зведення до трикутного вигляду та метод розкладу визначника за елементами деякого рядка (стовпця).

1) . 2) . 3) .

4) . 5) . 6) .

7) . 8) . 9) .

10) . 11) . 12) .

13) . 14) . 15)

16).17).18)

19) . 20). 21).

22) . 23) . 24) .

25) .

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Самостійна робота №3

Тема 3. Ранг матриці. Основні теоретичні відомості

Нехай задано матрицю А розміру mn. Виділимо в матриці А будь-які к рядків і стільки ж стовпців, де число к не більше чисел m і n.

Визначник порядку к, складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називають мінором к-го порядку матриці А.

Рангом матриці А називають найвищий порядок відмінного від нуля мінора цієї матриці і позначають r(А).

Ранг матриці міститься у межах r(А).

Наприклад, матриця

має такі мінори другого порядку: , , .

Мінором третього порядку даної матриці є її визначник.

Мінор, порядок якого визначає ранг матриці, називають базисним. У матриці може бути кілька базисних мінорів.

Ранг матриці можна знаходити так. Якщо в матриці вказано відмінний від нуля мінор к-го порядку, то ранг матриці не менший к. При цьому, якщо всі мінори (к+1)-го порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює к. Якщо зустрівся ненульовий мінор (к+1)-го порядку, то переходять до дослідження мінорів порядку к+2, тобто процедура продовжується.

На практиці для відшукання рангу високих порядків зручніше використовувати інший метод, який ґрунтується на такому твердженні:

Ранг матриці не зміниться, якщо над нею виконати елементарні перетворення, а саме:

1) переставити місцями два рядки (стовпці);

2) помножити кожен елемент рядка (стовпця) на ненульовий множник;

3) додати до елементів рядка (стовпця) елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число.

Скориставшись елементарними перетвореннями, матрицю можна звести до вигляду, коли всі її елементи, крім елементів , , …., , де r, дорівнюють нулю. Тоді ранг матриці дорівнює r.