Векторне параметричне рівняння прямої

Нехай пряма L проходить через точку паралельно до напрямного вектора (рис.2). Візьмемо на прямій довільну точку M(x;y) і розглянемо радіуси-вектори та = . Вектори i колінеарні, тому ,

Рівняння (5) називається векторним параметричним рівнянням прямої. Змінна t, яка може набувати будь-які значення, називається параметром.

О L Рис.2

Параметричні рівняння прямої

Позначимо у формулі (3) відношення через t, тобто

Звідси дістанемо

Ці рівняння прямої називаються параметричними .

Рівняння прямої у відрізках на осях.

Нехай пряма L проходить через дві точки , тобто відсікає на осях координат відрізки довжиною |a| i |b| (рис.3а). Підставивши координати цих точок в рівняння (4) ,дістанемо рівняння (6), яке називається рівнянням прямої у відрізках на осях

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Якщо пряма L проходить через точку і утворює кут з додатним напрямом осі абсцис (рис.3б), то число називається кутовим коефіцієнтом прямої. Обравши довільну точку M(x;y) на прямій, дістанемо з трикутника

Звідки

Це рівняння прямої L , яка проходить через точку і має кутовий коефіцієнт k Якщо за точку візьмемо точку , то дістанемо рівняння (7)

яке називається рівнянням прямим з кутовим коефіцієнтом.

L L O Рис.3а.б

Теми 2,3,4,5. Кут між двома прямими. Умови паралельності та перпендикулярності прямих.

Нехай прямі задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами (рис. 4). Позначимо кути нахилу цих прямих до осі Ох через відповідно, причому . Тоді гострий кут між прямими визначається формулою . Звідси (8)

Якщо прямі паралельні , то , , отже , тому умова паралельності прямих (9)

Якщо прямі перпендикулярні, то . У цьому разі не існує. Отже у формулі (8) , тому умова перпендикулярності прямих (10)

Нехай прямі задані загальним рівнянням i , тоді : 1) кут () між цими прямими визначається через кут між їхніми нормальними векторами : (11)

Причому , якщо (рис.4а) , і , якщо (рис.4б)

Рис.4а,б

2) умова паралельності прямих (рис.5а) (12)

3)умова перпендикулярності (рис.5б) (13)

d L Рис.5а,б