Тема 4. Векторний добуток векторів. Основні теоретичні відомості

Векторним добутком вектора на вектор називають вектор , який задовольняє такі три умови:

1) модуль вектора обчислюють за формулою:

,

де - кут між векторами і ;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і ;

3) вектори , і утворюють праву трійку, тобто якщо дивитися з кінця результуючого вектора , то найкоротший поворот від першого вектора до другого вектора видно проти годинникової стрілки (рис.1).

Рис.1

Позначення векторного добутку: , .

З означення векторного добутку безпосередньо випливають векторні рівності між ортами :

Властивості векторного добутку.

Розглянемо алгебраїчні та геометричні властивості векторного добутку:

1) геометричний зміст векторного добутку: модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на прикладених до спільного початку векторах і (рис.2).

S Рис.2

2) антикомутативність множення:

3) ; ;

4) ;

5) два ненульові вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли векторний добуток цих векторів дорівнює нуль-вектору, тобто

Зокрема,

Зауваження. Якщо відомі координати вершин трикутника АВС, то його площу доцільно шукати за формулою

Векторний добуток векторів, заданих координатами.

Нехай вектори , задані своїми координатами у ПДСК. Тоді векторний добуток знаходять за формулою

або

Мішаний добуток векторів.

Мішаним (векторно-скалярним) добутком трьох векторів , і називають число , рівне скалярному добутку вектора на вектор :

Розглянемо властивості мішаного добутку.

1. Якщо в мішаному добутку поміняти місцями які-небудь два множники, то мішаний добуток змінить знак, наприклад:

.

2. При циклічному переставленні множників мішаний добуток не змінюється.

3. У мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутків можна міняти місцями:

.

4. Геометричний зміст мішаного добутку: модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на прикладених до спільного початку векторах , і (рис.3), тобто

Рис.3 S

Зауваження. Об’єм піраміди, побудованої на векторах , і , дорівнює 1/6 частини об’єму паралелепіпеда, тобто

5. Якщо , то вектори , і утворюють праву трійку, а якщо , то ліву трійку.

6. Умова компланарності трьох векторів.

Мішаний добуток трьох векторів, заданих координатами.

Нехай вектори , , задані своїми координатами в ПДСК. Знайдемо мішаний добуток цих векторів, використовуючи формули скалярного і векторного добутку векторів, заданих координатами. Маємо

.

Дістали розклад визначника третього порядку за елементами першого рядка. Отже,

Зауваження. Компланарність ненульових векторів , і встановлюють так: якщо визначник

,

то вектори , і – компланарні, якщо визначник відмінний від нуля, то вектори не компланарні.