1 Цель работы
Теоретически и экспериментально определить напряжения, действующие на поверхности плоской крышки и плоского днища, для заданных значений внутреннего давления, сравнить экспериментальные значения с расчетными и определить процент отклонения.
2 Содержание работы
Расчет напряжений в плоских круглых крышках или днищах ведется согласно теории тонких пластинок, по которой общие уравнения круглых пластинок, нагруженных симметрично, записываются в дифференциальной форме:
(2.1)
(2.2)
Уравнения изгибающихся моментов записывается в виде:
(2.3)
(2.4)
где φ
- угол поворота нормали к срединной
поверхности; W
– прогиб
пластинки на некотором радиусе окружности;
r
– текущий радиус;
- цилиндрическая жесткость пластины;
Е
– модуль упругости первого рода;
- толщина пластинки;
- коэффициент Пуассона; Q
– перерезывающая сила; Mr
– радиальный момент, отнесенный к
единице длины; Mt
– кольцевой момент, отнесенный к единице
длины.
Уравнения (2.1) и (2.2) называются уравнениями углов поворота нормалей и прогибов пластинки в дифференциальной форме.
Так как способ закрепления крышки или днища по краям (рис. 2.1) влияет на величину и характер распределения этих напряжений, то конструктивную схему можно свести к шарнирной (рис. 2.2) или жестко защемленной (рис. 2.3).
Рис. 2.1.
Рис. 2.2. Рис. 2.3.
В действительности же будет иметь место промежуточный случай, тo есть упругая заделка края. Для определения перерезающей силы, независимо от способа заделки края крышки или днища уравнение равновесия центральной части крышки радиуса r (рис. 3.4) запишется в виде:
.
(2.5)
Откуда:
. (2.6)
Рис. 2.4.
Подставив значение Q в уравнение (2.1) и дважды проинтегрировав его, получим:
(2.7)
где С1 и С2 – постоянные интегрирования.
Постоянная
интегрирования С2
определяется из условия, что в
центре
крышки или днища при
,
а это возможно только в том случае, когда
С2=0
в уравнении (2.7). Следовательно, уравнение
(2.7) можно представить в виде:
(2.8)
Постоянная
С1
интегрирования
определяется
из второго граничного условия при
и
зависит от способа закрепления
крышки по
контуру.
Для
жесткозащемленного случая, когда при
,
,
из уравнения
(2.8) имеем, что
.
Тогда уравнение (2.8) перепишется:
(2.9)
Для
шарнирного закрепления при
радиальный
момент
и из уравнения (2.3) имеем:
(2.10)
Подставив
в уравнение (2.10) значение угла поворота
нормалей к срединной поверхности
из уравнения (2.8) и производную
а
затем, решить его относительно С1.
(2.11)
С учетом выражения (3.11) уравнение (2.8) для шарнирного закрепления перепишется:
(2.12)
Подставив
в уравнения (2.3), (2.4) значения
из выражений (2.9), (2.12), получим уравнения
для определения величины изгибающих
моментов Мr
и
Мt
в зависимости от способа заделки, крышки
или днища:
для жесткого защемления:
(2.13)
,
для шарнирной заделки:
(2.14)
.
Нормальные радиальные и кольцевые напряжения, действующие на поверхности плоской крышки или днища, найдутся в общем виде как
(2.15)
(2.16)
Тогда, в зависимости от способа закрепления крышки или днища по контуру, выражения (2.15), (2.16) с учетом (2.13), (2.14) перепишутся в виде:
для жесткого
защемления:
(2.17)
(2.18)
для шарнирной
заделки:
(2.19)
(2.20)