1. Расчет линейной модели.

Записываем уравнение процесса в виде:

Y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+…+b_1..kx₁×..×x_k (1)

Коэффициенты линейной модели вычисляются по формуле:

b_j = . (2)

где, b₀ есть среднее арифметическое значений параметра оптимизации.

Проведем расчеты, получим следующие коэффициенты:

b₀=0,153, b₁= 0,002, b₂=0,025, b₃=0,013, b₄= 0,0104.

Тогда уравнение процесса запишется в виде:

Y=0,153 + 0,002х₁ + 0,025х₂ + 0,013х₃ + 0,0104х₄.

Ошибка, возникающая из-за несовпадения результатов при проведении параллельных опытов определяется по следующим показателям:

а). Среднее арифметическое значение параметра оптимизации:

= (y₁ + y₂ + y₃ + . . . + y_n) / n = (3)

где у_i - результаты экспериментов, n - количество опытов в серии.

₁=0,123 ₅=0,1375 ₉=0,0575 ₁₃=0,105

₂=0,065 ₆=0,105 ₁₀=0,195 ₁₄=0,235

₃=0,1975 ₇=0,225 ₁₁=0,16 ₁₅=0,2025

₄=0,1725 ₈=0,115 ₁₂=0,15 ₁₆=0,2025

б) Дисперсия - среднее значение квадрата отклонений величины от ее среднего значения:

, (4)

где (n-1) - число степеней свободы, равное количеству параллельных опытов минус единица.

Дисперсия имеет следующие значения:

S²₁=0,000234 S²₅=0,000292 S²₉ =0,000292 S²₁₃ =0,000166

S²₂=0,000166 S²₆=0,000166 S²₁₀ =0,000166 S²₁₄ =0,0007

S²₃=0,000292 S²₇=0,000166 S²₁₁ =0,000335 S²₁₅ =0,000756

S²₄=0,000225 S²₈=0,000166 S²₁₂ =0,000335 S²₁₆ =0,000292

в). Квадратичная ошибка вычисляется по формуле:

. (5)

подставив значения результатов эксперимента и их среднее арифметическое в (5) получим следующие значения квадратичной ошибки:

S₁=0,0153 S₅ =0,0171 S₉ =0,0171 S₁₃ =0,0129

S₂=0,0129 S₆=0,0129 S₁₀ =0,0129 S₁₄ =0,0265

S₃=0,0171 S₇=0,0129 S₁₁ =0,0183 S₁₅ =0,0275

S₄=0,01 5 S₈=0,0129 S₁₂ =0,0183 S₁₆ =0,0171

Для определения ошибок опыта используем критерий Стьюдента:

, (6)

где t – табличное значение критерия Стьюдента,

Учитывая, что t=4.3 , запишем неравенство .

Полученные дисперсии проверяем на однородность с помощью критерия Фишера. Для этого найдем отношение большей дисперсии к меньшей и полученную величину сравним с табличной равной 9,3

Критерий Фишера, полученный расчётным путём меньше табличного значения, значит дисперсии однородны.

Рассчитаем дисперсию параметра оптимизации по формуле:

, (7)

где f_i =n-1 –число степеней свободы в i-м опыте.

Число степеней свободы дисперсии параметра оптимизации принимается равной сумме чисел степеней свободы дисперсий из которых она вычислена.

Тогда дисперсия параметра оптимизации: S²_y=0,0003.

3. ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ.

После построения модели необходимо провести проверку ее адекватности.

С этой целью вычисляем дисперсию адекватности по формуле:

, (8)

где - значение параметра оптимизации полученное по линейной модели.

Значения параметра оптимизации:

₁=0,1025 _{5=0,1285 9=0,1233 13=0,1493}

_{2=0,1065 6=0,1325 10=0,1273 14=0,1533}

_{3 = 0,1527 7}=0,1787 ₁₁=0,1735 ₁₅=0,1995

_{4=0,1567 8}=0,1827 ₁₂=0,1775 ₁₆=0,2035

Число степеней свободы вычисляется по следующей формуле:

f=N-(k+1), (9)

где N – число серий опытов, k - количество факторов.

Получим, f=16-(4+1)=11.

Подставив полученные значения в формулу (8), получим значение дисперсии адекватности:

S²_ад=0,0028.

Для проверки адекватности модели используется Ф-критерий Фишера, который определяется следующей формулой:

F = S_ад² / . (10)

Расчетное значение критерия Фишера F=9.236, табличное значение F=1.8.

9.236>1.8

Равенство означает, что модель неадекватна.

Проверим значимость каждого коэффициента. Для этого рассчитаем дисперсию коэффициента регрессии по формуле:

S²_{bj} = S_y² / N. (11)

S²_{bj} =0,00002

На основе полученной дисперсии коэффициентов регрессии строим доверительный интервал по формуле:

Db_j = ±t×S{b_j}, (12)

где S{b_j} - квадратичная ошибка коэффициента регрессии; t - табличное значение критерия Стьюдента.

Db_j =±2*0,00447=±0,0089

Коэффициент является значимым, если его абсолютная величина больше доверительного интервала. Коэффициент b₁ не является значимым, т.к. |0,002|<0,0089.