Пусть уравнение кривой второго порядка имеет вид

.(7)

Такой вид уравнения определяет кривую, оси симметрии которой параллельны осям координат (или, в случае нецентральной кривой, ось симметрии параллельна одной из осей). Выбрав в качестве новых осей координат оси симметрии, или осуществив параллельный перенос системы координат, уравнение (7) может быть приведено к каноническому виду.

Известно также, что 1) если , то уравнение (7) определяет кривую эллиптического типа ; 2) если , то гиперболического ; 3) если параболического .

Первый способ решения задания 2 а).

Линия второго порядка задана уравнением

.

В этом уравнении . Так как , то данная линия – параболического типа. Путем параллельного переноса системы координат приведем уравнение к виду . Подставим вместо их выражения через по формулам (2) : , , получим

, или

, или

.(8)

Подберем так, чтобы слагаемое с и свободный член обратились в нуль, т.е. полагая , , найдем , координаты нового начала . Найденные значения подставим в уравнение (8), получим .

Построим системы координат (данную) и . Уравнение в системе координат определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии (рис.4).

Рис. 4

Второй способ решения задания 2 а).

Возьмем то же уравнение

и разрешим его относительно : .

Выделим полный квадрат относительно

, или .

Таким образом, имеем уравнение параболы с вершиной в точке, координаты которой . Поместим начало новой системы координат в вершину параболы, в точку , и выполним параллельный перенос осей координат, используя формулы

,

тогда уравнение данной параболы в системе (см. рис.4) будет .

Решение задания 2 б).

Дано уравнение

.

Так как , , то уравнение определяет кривую эллиптического типа. Приведем уравнение к каноническому виду. Сгруппируем слагаемые с и слагаемые с

, или

,

выделим полный квадрат относительно и

, или

,

окончательно имеем

.

Перенесем начало координат в точку и воспользуемся формулами параллельного переноса системы координат

,

или, учитывая координаты выбранного начала,

,

тогда уравнение данного эллипса в системе будет выглядеть так :

.

Построим обе системы координат и эллипс.

Рис. 5

Решение задания 3.

Рассмотрим уравнение кривой второго порядка общего вида

.(9)

Инвариантом уравнения (9) называют алгебраическое выражение , составленное из коэффициентов при старших членах уравнения (9) , которое не изменяется при любом преобразовании координат.

С помощью инварианта определяют принадлежность кривой к определенному типу : 1) если , то уравнение определяет кривую эллиптического типа ; 2) если , то гиперболического типа ; 3) если , то параболического типа.

Так как в уравнении (9) , то оси симметрии кривой не параллельны осям координат . Повернем оси координат так, чтобы они стали параллельны осям симметрии кривой, для этого воспользуемся формулами поворота осей координат (3) : , . Подставим выражения для в уравнение (9), имеем

.

Раскроем скобки и приведем подобные члены, в новых координатах получаем уравнение

,(10)

где ,

,

,

, .

Выберем угол так, чтобы в новой системе координат оси симметрии были параллельны осям координат , т.е. положим , или

.

Так как , поэтому . После поворота осей координат на этот угол в уравнении (10) исчезнет произведение переменных .

В задании 3 дано уравнение

.

Так как , , то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Приведем его к каноническому виду. Для этого вначале выполним поворот системы координат на угол , для которого ; по формулам тригонометрии

, , находим

, , и записываем по формулам поворота осей координат (3)

,

.

Подставим выражения и в данное уравнение, получим

.

Раскроем скобки, приведем подобные члены, получим

.

Выполнив параллельный перенос системы координат, приведем это уравнение к каноническому уравнению гиперболы. Для этого сгруппируем слагаемые с одноименными переменными

,

выделим полные квадраты относительно ,

, или

, или

.

Поместим начало новой системы координат в точку , воспользуемся формулами параллельного переноса (2)

, , или, учитывая координаты нового начала ,

, , окончательно получим

.(11)

Построим все три системы координат , , , учитывая, что угол поворота системы

,

а точка в системе координат имеет координаты . В систему координат поместим кривую (гиперболу), определяемую уравнением (11).

Рис. 6

К заданию 4.

Как известно, пара чисел на плоскости определяет точку, а уравнение, связывающее и , – линию на плоскости. Помимо декартовых, на плоскости можно построить большое число других систем координат. Каждая из систем употребляется там, где это удобнее (и декартова – чаще всех бывает удобной), но при исследовании вращательных движений самой эффективной является полярная система координат.

Рис. 7

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки (полюса), исходящего из этой точки луча (полярной оси) и указанием единицы масштаба. Рассмотрим произвольную точку плоскости ; обозначим расстояние точки от полюса через , угол, на который нужно повернуть луч для совмещения его с , через φ . Угол φ будем понимать так, как это принято в тригонометрии (т.е. углы, получаемые при вращении полярной оси вокруг полюса против часовой стрелки, положительны ; при вращении полярной оси по часовой стрелке – отрицательны). Числа (полярный радиус) и φ (полярный угол) называют полярными координатами точки и записывают . Для того чтобы соответствие между точками плоскости и парами чисел было взаимно однозначным, обычно считают, что и (или .

Запишем формулы, устанавливающие связь декартовых координат с полярными. Из получим

, (12)

а также .

Решение задания 4 а).

Построим линию, заданную уравнением

, где .

Для построения указанной линии составим таблицу значений и (придавая значения, равные , ).

Ввиду четности значения для одинаковы.

На плоскости построим точки, соответствующие имеющимся в таблице парам чисел и , в выбранной нами полярной системе координат. Соединяя последовательно эти точки, получим линию, называемую кардиоидой (Рис.8).

Рис. 8

Решение задания 4 б).