1 МОДЕЛИРОВАНИЕ НА МИКРО УРОВНЕ

1.1 Струнный датчик натяжения: принцип работы и конструкция

Струнные датчики в настоящее время используются в океанографических исследованиях, а также для измерения напряжений в стали и бетоне, углов поворта и моментов вращения, дилатометрических измерений температуры. Разработанный нами датчик натяжения на основе вибрирующей струны применялся в качестве измерителя силы в термовесах а также при изучении взаимодействия образца с магнитным полем.

Внешний вид датчика показан на рисунке 1, конструкция схематически изображена на рисунке 2.

Рисунок 1 – Внешний вид струнного датчика натяжения

Рисунок 2 – Конструкция струнного датчика

Основной элемент струнного датчика – колеблющаяся струна длиной l, один конец которой закреплен, на другой действуют колебания с частотой n и амплитудой А. На расстоянии l/2 от конца струны находится датчик перемещений (Д) в перпендикулярном направлении.

1.2 Выбор уравнения и его идентификация

Система с распределенными параметрами (СРП) – это система, в которой практически все сигналы (особенно входной и выходной) зависят от пространственных координат и времени.

Есть среды, которые не могут быть описаны в сосредоточенных параметрах (электромагнитное поле, электростатическое поле, течение потока, гравитационное поле, температура и т.д.).

Система с сосредоточенными параметрами является частным случаем СРП и вводится для упрощения и решения задач на первом (нулевом) этапе.

Функция состояния Q(x,t) объекта СРП (ОРП), определяемая по пространственной переменной замкнутой области удовлетворяет уравнению:

(1)

где - открытая часть области D, не содержащая границы;

L – некоторый заданный оператор (линейная функция Q, в частных производных Q(x,t) различных порядков, интегральный оператор от Q(x,t) и/или x, t).

Конечной задачей решения уравнения СРП является нахождение величины переменной состояния ОРП Q(x,t) в любой момент времени (t>0) в точке X.

Механические колебания струны описываются волновым уравнением, моделирующим процессы распространения свободных колебаний:

^{; ; ; ,} (2)

где x – единственная координата, измеряемая вдоль перемещения колебаний, м;

Q(x,t) – отклонение струны от установившегося состояния, м;

V – скорость распространения волны, м/с;

f(x,t) – удельная сила, действующая на струну в процессе колебаний, Н/кг;

x₀ и x₁ – начальная и конечная координаты струны, м.

Примем координату верхнего конца x₀=0, и будем считать, что в процессе колебаний на струну не действуют силы: f(x,t)=0.

Скорость распространения волны определяется выражением:

, ⁽³⁾

где T – сила натяжения струны, Н (примем T=1H);

- линейная плотность массы, то есть масса, приходящаяся на единицу длины струны, кг/м.

Будем считать струну цилиндром, тогда линейная плотность рассчитывается по формуле:

, ⁽⁴⁾

где - объемная плотность вольфрама, кг/м³ (=19*10³ кг/м³);

d – диаметр струны, м (d=10^-4м);

Подставив значения, получаем значение скорости: V=81.861м/с.

Для того, чтобы Q(x,t) было однозначно определено в любой точке струны и в любой момент времени, необходимо задать граничные условия на концах струны и начальные условия в момент времени t=0.

Определим граничные условия на концах струны длиной l=0.05м. Один конец жестко закреплен, а другой колеблется по заданному закону входного воздействия:

⁼, t>0 (5)

Начальные условия нулевые – в начальный момент времени струна покоится:

^{N[Q(x,t)]=, (6)}

1.3 Расчет статической характеристики

Уравнение вида (1) с начальными и граничными условиями практически не разрешимо. Для его решения вводится в рассмотрение так называемая стандартная форма записи. Она подразумевает нулевые граничные и начальные условия.

(7)

где (x, t) – стандартизующая функция.

Функцией, описывающей реакцию самой системы, является функция Грина . Функцией Грина называется функция источника, которая равна выходному сигналу:

^{, при} , (8)

где - пространственная  - функция.

-  - функция по времени;

 – координаты входного возмущения;

x - координаты точки отклика от удара.

Зная стандартизирующую функцию и функцию Грина, можно найти выходную функцию по следующему выражению:

⁽⁹⁾

Запишем стандартизирующую функцию и функцию Грина G() на основании выбранного уравнения, начальных условий и входного воздействия по справочным материалам [1]:

, , t>0 (10)

^{G()= (11)}

Выходная величина Q(x,t) находится как пространственно временная композиция от произведения функции Грина G() на стандартизирующую функцию :

⁽¹²⁾

Подставим функцию Грина и вынесем сумму из-под интегралов:

⁽¹³⁾

Подставим стандартизирующую функцию :

(14)

Вынесем из-под пространственного интеграла члены, не зависящие от :

(15)

Используя свойство -функции , запишем:

(16)

Выражение (16) является выходной функцией и статической характеристикой колебаний струны.

Для построения статической характеристики воспользуемся программой MathCad:

В итоге получаем график для значений А=0,002м, n=2500Гц, представленный на рисунке 3.

, м

, м

Рисунок 3 – Статическая характеристика датчика