III.4. Первая основная квадратичная форма поверхности.

В произвольной точке поверхности зададим на­правление, выбрав , . Отношение дифференциалов

определяет направление на поверхности, имеем

.

Производная от по направлению имеет вид

.

Малое смещение по кривой на поверхности вычисляется на основании равенств

.

Отсюда получаем, вычисляя скалярный квадрат ,

. (III.4.1) Введем обозначения:

, , . (III.4.2) Значения этих скалярных произведений зависят от выбора точки поверхности. Выражение

. (III.4.3) называется первой основной квадратичной формой поверхности .

III.5. Метрика на поверхности.

Малое расстояние на поверхности в направлении может быть найдено по первой квадратичной форме

.

На этом основании первая квадратичная форма поверхности определяет метрику на поверхности. Матрица Грама этой метрики:

,

,

Детерминант метрической формы равен

.

Для любых векторов и , угол между которыми равен , имеем

, ,

поэтому верно соотношение

.

Перепишем это равенство для , :

.

Отсюда, используя обозначения (III.4.2), находим:

, . (III.5.1)

Вместе с тем, получено

и детерминант первой квадратичной формы есть ее дискриминант.

Длину дуги кривой, проходящей через точку в направлении можно вычислить на основании дифференциала дуги (III.4.1):

.

Если через точку проходит еще одна линия в направлении , то угол между кривыми и есть угол между векторами и и может быть найден из формулы

.

Если первое направление есть направление -линии: , , второе направление есть направление -линии: , , и угол между -линией и -линией, то

.

Выполняется .

Элемент площади фигуры на поверхности равен

и по (III.5.1):

.

Теперь площадь фигуры , лежащей на поверхности , вычисляется по формуле

.

Итак, на основании первой квадратичной формы (III.4.3) поверхности на поверхности вычисляются длины линий между заданными точками, углы между линиями и площади фигур, лежащих на поверхности, т.е. могут быть произведены все измерения. Форма действительно является метрической.

III.6. Кривизна линий на поверхности.

На поверхности рассматриваем линию , в естественной параметризации

.

Согласно п. II.7, кривизна кривой определяется из равенства

,

где кривизна кривой, единичный вектор главной нормали кривой. Обозначим единичный вектор нормали поверхности , это вектор

(III.6.1) см. п. III.3. Умножим скалярно и :

,

если угол между и . Величина

называется нормальной кривизной кривой на поверхности или нормальной кривизной поверхности:

(III.6.2) Вычислим в окрестности точки . Находим

,

,

,

Здесь и , так как . Обозначим

, , .

На основании (III.6.1) и (III.6.2) имеем

; ; .

Коэффициенты , , вычислены в точке поверхности. Выражение для нормальной кривизны линии на поверхности таково:

. (III.1.3)

Отсюда получаем

.

Воспользуемся значением из первой квадратичной формы (III.4.3) поверхности

(III.6.4)

Квадратичная форма

называется второй квадратичной формой поверхности. Таким образом, нормальная кривизна поверхности есть отношение второй и первой квадратичных форм поверхности.

Рассмотрим на поверхности кривые, проходящие через точку и имеющие с кривой общую соприкасающуюся плоскость. У этих кривых общий вектор касательной и общий вектор кривизны . Среди этих кривых находится плоская кривая, лежащая в соприкасающейся плоскости , эта плоскость содержит и нормаль поверхности. Следовательно, выполняется

III.1.1. ТЕОРЕМА. Нормальная кривизна поверхности в точке есть кривизна нормального сечения поверхности. #