2.5.2 Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера.

Формула численного интегрирования неявного метода Эйлера имеет вид:

(61)

Совместное преобразование двух последних выражений приводит к записи:

(62)

где - модифицированная матрица Якоби на k+1 шаге, которая формируется по следующему правилу:

Диагональные элементы матрицы Якоби на k-ом шаге пересчитываются по формуле:

(63)

Остальные элементы не изменяются. Для матрицы размерности 5х5 получаем:

(64)

- модифицированный вектор входных воздействий на k+1 шаге, определяемый по формуле:

(65)

Решение системы уравнений (61) дает значение фазовых координат на k+1 шаге, то есть в момент времени t_k+1.

Алгоритм неявного метода Эйлера с постоянным шагом интегрирования h:

1. задание шага интегрирования h;

2. задание начальных значений фазовых переменных при t₀=0;

3. вычисление времени t_k+1=t_k+h, где k=0,1,2… ;

4. вычисление модифицированных матриц и на k+1 шаге;

5. решение системы уравнений (61) с целью определения в момент времени t_k+1;

6. переход к этапу (3) до тех пор, пока в случае устойчивой системы фазовые координаты не достигнут состояния конечного значения .

Начальные значения вектора определяются на основании входных воздействий системы. В качестве начальных значений фазовых переменных берем вектор начальных значений .

Рисунок 7 – Графики фазовых координат M(n)₀, M(n)₁, M(n)₂, M(n)₃

Рисунок 7 – Переходный процесс гидросистемы

Заключение

В первой части работы была произведена идентификация заданного дифференциального уравнения, по полученному уравнению теплопроводности построили графики отклонения струны, представляющие собой гармонические колебания.

Также синтезировали интегральную передаточную функцию, в результате чего получили передаточную функцию, с помощью которой построили ЛАЧХ. Аппроксимируя полученную ЛАЧХ типовыми наклонами получили характеристику апериодического звена 1-го порядка, а так же нашли уравнение передаточной функции W(p).

При заданных граничных условиях g₁ и g₂ было смоделировано нагревание стержня в программе Elcut, получена цветовая шкала и график температуры.

Во второй части работы по схеме гидравлической системы нашли основные параметры трубопровода гидросистемы, произвели расчет статической и динамической модели.

Список использованной литературы

1 Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1979. -224с.

2 Власов В.В. Синтез интегральной передаточной функции для объектов управления с распределенными параметрами // Школа академика Власова: Сб. метод, тр - М.: Буркин, 1998. -128с.

3 Бесекерский В.А., Попов Н.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука. 1966. -992с.

4 Топчеев Ю.И Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. - М : Наука. 1989. -752с.

5 Чемоданов Б.К., Иванов В.А., Медведев B.C., Юшенко А.С. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 - М.: Высшая школа, 1977. -366с.