СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

1 Моделирование на микроуровне 5

1.1 Исходные данные 5

1.2 Идентификация краевой задачи 6

1.3 Расчет выходной распределенной величины 8

1.4 Расчет интегральной передаточной функции 10

1.5 Построение логарифмической амплитудно-частотной

характеристики 11

1.6 Моделирование Elcut 12

2 Моделирование на макроуровне 14

2.1 Исходные данные 14

2.2 Графические формы математической модели гидравлической

системы 15

2.3 Матричная форма математической модели 16

2.4 Узловой метод формирования математической модели 18

2.5 Расчет параметров элементов гидросистемы 20

2.6 Расчет статического режима работы гидросистемы 21

2.7 Анализ динамических свойств гидросистемы 25

Заключение 30

Список использованных источников 31

Приложение А 32

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование – процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследования на этой модели с целью получения необходимой информации об объекте.

Модель – физический или абстрактный образ моделируемого объекта удобного для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

Различают моделирование предметное и абстрактное.

При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает физические свойства объекта, при этом объект может иметь иную физическую природу. Недостаток такого вида моделирован - большие временные и материальные затраты.

Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной моде (математические соотношения, графы, схемы, диаграммы). Наиболее мощным средством абстрактного моделирования является математическое моделирование.

Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта.

Математическая модель - совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающих физические свойства объекта.

В зависимости от степени абстрагирования различают 3 основных иерархических уровня: верхний (меттауровень), средний (макроуровень), нижний (микроуровень).

На макроуровне объект проектирования рассматривают как динамическую систему с сосредоточенными параметрами. Математическая модель макроуровня представляет собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

На микроуровне объект представляется как сплошная среда с распределенными параметрами. Для описания процесса функционирования таких объектов используют дифференциальные уравнения в частных производных. На микроуровне проектируют неделимые по функциональному признаку элементы технической системы, называемые базовыми элементами (вал, мембрана, стержень).

Целью курсовой работы является синтез интегральной передаточной функции для объектов управления с распределенными параметрами. В данной работе решается вопрос построения математической модели колебания струны на основе теории распределенных сигналов: по заданному дифференциальному уравнению объекта получить выражение для передаточной функции в распределенных параметрах, выражение для выходной величины, выражение для оценочной передаточной функции для наилучших условий управления. Построить оценочную ЛАЧХ, аппроксимировать ее и записать выражение передаточной функции через типовые звенья. Кроме того на макро уровне необходимо исследовать статическую и динамическую модель гидросистемы. Для чего необходимо составить систему дифференциальных уравнений статической модели методом Ньютона, а динамическую модель рассчитать методом Эйлера. В итоге необходимо построить переходный процесс системы.

1 Моделирование на микроуровне

1.1 Исходные данные

Для выполнения первой части курсовой работы примем следующие исходные данные [1, стр. 141]:

1) Уравнение колебания мембраны:

2) Входное воздействие, начальные и граничные условия:

;

3) Стандартизирующая функция:

4) Функция Грина:

5) Континуальная передаточная функция:

1.2 Идентификация краевой задачи

Уравнение математической физики являются основой для построения математической модели элементов систем управления с распределенными параметрами. Для их практического применения основной сложностью является выбор уравнения, которое могло бы с заданной точностью и степенью достоверности описать интересующий элемент системы.

Колебательные процессы описываются уравнениями гиперболического типа. Рассмотрим двумерную задачу распространения колебаний мембраны.

Дифференциальное уравнение имеет вид:

(1.1)

где Q(x,y,t) – выходная величина (колебание мембраны, м);

f(x,y,t) – входное воздействие на мембрану, м/с²;

Начальные условия, описывающие прогиб и скорость мембраны в начальный момент времени:

;

Граничные условия – нулевые, описывающие жесткое закрепление мембраны по краям:

Стандартизирующая функция с учетом принятых условий имеет вид:

(1.2)

Зададим значение волновой скорости мембраны м/с,

где Т₀-плотность натяжения мембраны [H/м],

-поверхностная плотность [кг/м²].

[Н/м].

Поверхностная плотность рассчитывается по формуле:

,

где -плотность материала мембраны [кг/м³],

d- толщина мембраны [м].

резина, плотность которой равна ρ=1,2*10³ [кг/м³], диаметр мембраны равен d=0.05[м].

Соответственно поверхностная плотность:

ρ_п=1,2*10³ *0.05=60 [кг/м].

С учётом рассчитанных параметров волновая скорость a=0.645 [м/с].

Входное воздействие, согласно исходным данным

,

где - поверхностная плотность силы,

А=0.5, В=0.2, С=1,3.

Рисунок 1.1 – Входное воздействие

То есть, будет рассмотрена задача колебания мембраны под воздействием начальной скорости Q₁(x,y)=0,7 [м/с] и входного воздействия .

Проследим за соблюдением размерности.

В данном уравнении размерности величин следующие:

Q(x,y,t)- деформация мембраны, м;

f(x,y,t)-входное воздействие на мембрану м/с²;

а – волновая скорость мембраны, м/с.

Учитывая размерности всех коэффициентов и величин, входящих в данное уравнение, получим:

Размерность соблюдается, следовательно, все коэффициенты подобраны верно.

1.3 Расчет выходной распределенной величины

Зная стандартизирующую функцию и функцию Грина, можно найти выходную функцию, вычислением интеграла, представляющим собой основное отношение, связывающее выход объекта при заданном начальном состоянии с входными воздействиями:

(1.3)

Учитывая принятые размеры мембраны l₁=0.1 м и l₂=0.3 м, вычислим выходную распределённую величину:

(1.4)

В результате получено выражение выходной функции состояния объекта с распределенными параметрами как функция двух аргументов x и t.

Построим функцию колебания струны для t=1с и t=0.05с, представленные на рисунках 1.2-1.5 соответственно:

Рисунок 1.2 – График выходной величины Q(x,y,t) при y=l₂/2 и t=1 c

Рисунок 1.3 – График выходной величины Q(x,y,t) при y=l₁/2 и t=1 c

Рисунок 1.4 – График выходной величины Q(x,y,t) при при y=l₂/2 и t=10 c

Рисунок 1.5 – График выходной величины Q(x,y,t) при при y=l₁/2 и t=10 c

1.4 Расчёт интегральной передаточной функции

По заданному дифференциальному уравнению объекта получим выражение для передаточной функции в распределённых параметрах.

Континуальная передаточная функция имеет вид:

(1.5)

Преобразование по Лапласу стандартизирующей функции:

(1.6)

Вынесем за скобку входное воздействие, преобразованное по Лапласу.

(1.7)

Рассчитаем интегрирующую передаточную функцию как пространственную композицию от произведения континуальной функции и :

(1.8)

Подставим в выражение исходные данные и найдем интегральную передаточную функцию в точке, ограничив количество членов ряда до 3:

(1.9)

Приняв х=l₁/2=0.05м, y=l₂/2=0.15м и p= iω, получим выражение для частотной передаточной функции:

(1.10)

1.5 Построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики

Построим ЛАЧХ, аппроксимируем, и запишем выражение передаточной функции через типовые звенья.

Построим ЛАЧХ по выражению:

_{20log([Ws(ω)])}

ω, рад/с

_{20log([Ws(ω)])}

Рисунок 1.6 - График логарифмической амплитудно-частотной характеристики

Аппроксимируем полученную ЛАЧХ стандартными типовыми наклонами получаем +100 дБ/дек , -40 дБ/дек, +60 дБ/дек. Тогда передаточная функция будет иметь вид:

(1.11)

График ЛАЧХ пересекает ось y в точке -35.431 , тогда коэффициент усиления равен:

_{20logk=-35,431, следовательно, k=0,017.}

_{Постоянные времени равны:}

_{T1=0.033; T2=0.012.}

С помощью аппроксимации передаточная функция запишется в виде:

. (1.12)

1.6 Моделирование колебания струны в среде Elcut

Смоделируем колебание мембраны при нулевых начальных и граничных условиях, при входном воздействии равном 0. Построим двумерную модель в виде прямоугольника длиной 0.3 м, и высотой 0.1 м, зададим воздействия на ребрах модели и выберем свойства материала мембраны (резина). Решение задачи получим виде цветовой схемы.

Рисунок 1.7 - Моделирование колебания мембраны от начального положения