2.5 Анализ динамической модели

Характеристики функционирования технических систем определяются её внутренними физическими свойствами и внешними воздействиями, которые подразделяются на возмущающие и управляющие. Для гидравлической системы возмущающим воздействием является давление потребителя, а управляющим – подача насосов. Для технической системы наиболее характерно функционирование в условиях непрерывно изменяющихся внешних воздействий, при которых состояние системы характеризуется изменением во времени фазовых координат системы. Такой режим работы системы называется динамическим. Основным показателем динамической системы является переходный процесс, моделирование которого позволяет исследовать быстродействие, точность, колебательность и другие свойства технической системы.

Решение задачи анализа переходного процесса происходит в 3 этапа:

1) интегрирование системы дифференциальных уравнений;

2. определение показателей качества;

3. оценка степени выполнения технических требований проектируемой технической системы.

В общем случае система дифференциальных уравнений имеет вид:

(19)

где А – матрица Якоби;

– вектор фазовых координат;

– вектор функции внешних воздействий;

– вектор функции внешних воздействий.

С учётом произведённых ранее расчётов запишем систему дифференциальных уравнений, представляющую динамическую гидросистему:

(20)

Так как система дифференциальных уравнений нелинейная, то элементами

матрицы Якоби являются частные производные по фазовым координатам:

Переходную характеристику определяют в результате численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, для чего необходимо провести выбор ряда параметров. Пусть переходный процесс оценивается как реакция системы, находящийся в состоянии покоя на ступенчатое воздействие вида:

(21)

где U₀ и U_k – начальные и конечные значения функции воздействия U(t), при-

чём U₀ и U_k – const (U₀ ≠ U_k).

В нашем случае такие внешние воздействия как давление потребителей остаются неизменными, а ступенчатое воздействие организуется изменением расхода насоса, тогда формула (21) примет вид:

Начальные и конечные значения всех фазовых координат определены при анализе статического состояния системы:

Для численного интегрирования будем использовать неявный метод Эйлера. Вектор входных воздействий при t ≥ 0 имеет вид:

(22)

В качестве шага интегрирования возьмём h=0.5, так как он обеспечивает устойчивость численного метода, то есть приемлемую точность вычислений.

Применим численный метод Эйлера для решения системы дифференциальных уравнений данной работы.

Формула численного интегрирования неявного метода Эйлера имеет вид:

, (23)

где ,

- определяются из исходной системы уравнений:

Совместное преобразование последних двух выражений приводит к следующей зависимости:

, (24)

где - модифицированная матрица Якоби на (k+1)-ом шаге, которая формиру-

ется по следующему правилу: диагональные элементы матрицы Якоби

на k-ом шаге пересчитываются с учётом шага интегрирования по фомуле:

, а остальные элементы не изменяются.

– модифицированный вектор входных воздействий, который на (k+1)-м

шаге пересчитывается с учетом шага интегрирования по формуле:

(21)

Решение системы уравнений даёт значение фазовых координат на (k+1)-ом шаге, то есть в момент времени t_k+1.

Алгоритм неявного метода Эйлера с постоянным шагом интегрирования h записывается следующим образом:

1. задание шага интегрирования h;

2. задание начальных значений переменных при t₀=0;

3. вычисление времени t_k+1 = t_k+h;

4. вычисление матриц и на (k+1)-ом шаге;

5. решение системы уравнений с целью определения на временном участке t_k+1;

6. переход к этапу 3 до тех пор, пока в случае устойчивой системы фазовые координаты не достигнут состояния конечных значений .

Для данной системы получим следующие графики:

Рисунок 8 – Переходные процессы системы (для расходов)

Так как получение графики переходных процессов имеют сходящийся вид, то можно считать, что система является устойчивой.

Рисунок 9 – Переходный процесс системы (для давления)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой части работы была произведена идентификация заданного дифференциального уравнения, по полученному уравнению построили графики колебаний струны.

Также синтезировала интегральную передаточную функцию W(x,y,p), в результате чего получили передаточную функцию, которую аппроксимировали стандартными наклонами и нашли уравнения передаточной функции W(p).

Во второй части курсовой работы по схеме гидравлической системы нашли основные параметры трубопровода гидравлической системы, произвели расчет статической и динамической модели. В результате исследования динамической модели были построены переходные процессы, из которых следует, что гидравлическая система устойчива.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами — М.: Наука, 1979. - 224с.

2 Бесекерский В.А., Попов Н.П. Теория систем автоматического регулирования — М.: Наука. 1966. - 992с.

3 Власов В.В. Синтез интегральной передаточной функции для объектов управления с распределенными параметрами //Школа академика Власова: Сб. метод, тр. — М.: Буркин, 1998. - 128с.

4 Топчеев Ю.И Атлас для проектирования систем автоматического регулирования — М : Наука, 1989. - 752с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(обязательное)

Графическая часть

1 Моделирование на микроуровне. Идентификация краевой задачи 35

2 Расчет выходной распределенной величины 36

3 Расчет интегральной передаточной функции. 37

4 Моделирование на макроуровне. Исходные данные 38

5 Графические и табличные формы модели гидравлической системы 40

6 Расчет статистического режима работы гидравлической системы 42

7 Расчет динамического режима работы гидравлической системы 43