2.4 Анализ статической модели

При постоянном воздействии система находится в установившемся равновесном состоянии. Её фазовые координаты (давление Р и расход Q) при этом постоянны. Такой режим функционирования системы называется статическим и достигается при постоянном внешнем воздействии:

- давления к потребителю (Р_В1, Р_В2, Р_В3);

- давления или подачи насоса Р_н (Q_н).

При этом устанавливаются постоянные значения фазовых координат системы:

- расход в гидромагистралях;

- давление в упругом элементе.

Для статистического состояния система дифференциальных уравнений (11) приобретает вид:

(16)

С учётом давлений диссипативных элементов в гидросистеме, преобразуем систему (16) к следующему виду:

(17)

Полученная система уравнений является статической моделью системы, для которой известны значения входных воздействий. Для её решения используются различные численные методы, для которых предварительно необходимо составить матрицу Якоби.

Матрица Якоби характеризует важнейшие свойства физической системы, а также свойства уравнений математической модели. Статическая модель с гидросистемы и представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений вида .

Элементами матрицы Якоби для нелинейной системы уравнений являются

частные производные от нелинейной вектор-функции фазовым координатам системы (Q₁, Q₂, …,Q_н, Р_y).

Для рассматриваемой системы матрица Якоби имеет вид:

В системе уравнений, нелинейной является функция , для них частные производные имеют вид:

, (18)

Тогда матрица Якоби исследуемой гидросистемы примет вид:

С учётом численных значений μ_л, μ_нл матрица Якоби примет вид:

Для решения системы уравнений статической модели используем метод Ньютона. Данный метод обладает наибольшей скоростью сходимости.

Алгоритм метода Ньютона включает следующие этапы:

1. Выбор начального приближения , где - вектор фазовых координат (Q₁, Q₂, Q₃, Q_4, Q_5,P_У1), - нулевой вектор-столбец:

2. Вычисление матрицы Якоби в точке (k = 0,1,2…).

3. Вычисление вектора невязок исходной системы алгебраических уравнений:

4. Определение вектора поправок .

5. Определение нового приближения вектора искомых фазовых переменных

.

6. Определение условия итерационного окончания процесса. Если процесс не закончен, то итерация продолжается.

Расчет статической модели произведен в MathCAD, а результаты вычислений представлены в таблице 4.

Таблица 4 – Результаты статического анализа

Фазовые координаты	Qн = 400, м3/с	Qн = 800, м3/с
Q1, м3/с	1.195	1.445
Q2, м3/с	-6.363	-6.458
Q3, м3/с	-5.032	-4.506
Q4, м3/с	3.895	3.558
Q5, м3/с	1.258	80.111
Py1, Па	3.904	4.497
Py2, Па	-1.085	-0.9654