2. Выбор уравнения и его идентификация

Уравнения математической физики являются основой для построения математической модели элементов и систем управления с распределенными параметрами. Для их практического применения основной сложностью является выбор уравнения, которое могло бы с заданной точностью и степенью достоверности описать интересующий элемент системы.

Рассмотрим одномерную задачу – дифформация мембраны, которая может быть описана уравнением:

(1)

Q(x,y,t)– выходная распределённая величина, представляющая собой ортого­нальную деформацию мембраны, м;

f(x,y,t) – входное распределённое воздействие на струну, м/c².

Примем размеры мембраны l₁=1 м, l₂=1 м, материал каучук, имеющий плотность кг/м³.

Для уравнения (1) формулируются следующие условия:

- начальные условия: , ;

- граничные условия: , ,,, , ;

- входное воздействие:

Стандартизирующая функция, компенсирующая влияние начальных и гра­ничных условий для данной одномерной задачи имеет вид, с учетом начальных и граничных условий:

(2)

Функция Грина, являющаяся решением краевой задачи при начальных и гра­ничных условиях и входном воздействии в виде δ-функции имеет вид:

(3)

Континуальная передаточная функция, являющаяся преобразованием Лап­ласа функции Грина имеет вид:

(4)

Для решения частной задачи примем следующие условия:

- входное воздействие, находится как

(5)

где р – давление на струну, Н/м²;

ρ – плотность материала струны, кг/м³;

h – толщина мембраны, м.

f(x,y,t)=

График входного воздействия:

Рисунок 1 – График входного воздействия

График начального условия:

Рисунок 2 – График начального условия

Примем, что а=1 .

Произведём проверку размерности:

Волновая скорость струны а имеет размерность [м/с]:

,

где T – натяжение струны, Н/м²;

ρ – плотность материала струны, кг/м³.

Тогда:

С учётом входного воздействия, принятых начальных и граничных условий стандартизирующая функция принимает вид:

(6)

1.3 Расчёт функции распределения

Идентификация исходного уравнения позволяет перейти к расчету распределенной выходной величины, являющейся функцией как пространственной, так и временной координаты и рассчитываемой как пространственно – временная композиция от произведения функции Грина на стандартизирующую функцию.

Вычислим интеграл, представляющий собой основное соотношение, связывающее выход объекта при заданном начальном состоянии с входными воздействиями по формуле:

Вычисления:

Окончательно формула для Q(x,y,t) примет вид:

В результате вычислений получено уравнение, описывающее зависи­мость выходной величины Q(x, y,t) от времени и координат x,y.

Построим статическую характеристику системы, которая описывается дан­ным уравнением, для t = 1 с.

Рисунок 3 – График выходной распределенной величины при t=1 c

1.4 Расчет интегральной передаточной функции. Построение переходного

процесса и ЛАЧХ

Для определения динамической характеристики построим логарифмиче­скую амплитудно-частотную характеристику. Для этого определим интегральную передаточную функцию, позволяющую для конкретной точки исследуемой облас­ти построить ЛАЧХ и по ней записать аппроксимированную передаточную функ­цию сосредоточенных параметрах.

Континуальная передаточная функция имеет вид:

где определяется как интегрирование по Лапласу уравнения (6) получим:

Запишем континуальную передаточную функция:

В результате преобразований получим:

Заменим р на jω, получим частотную передаточную функцию при x=y=1:

Найдём выражение для логарифмической амплитудно-частотной характеристики и построим ее график:

,

График ЛАЧХ изображен на рисунке 4.

Рисунок 4 – график ЛАЧХ

Найдем Т при условии, что:

где ω₁ - частота аппроксимированной ЛАЧХ, Гц.

[с];

График ЛАЧХ пересекает ось Y в точке 5. Определим значение коэффициента передачи k:

20∙logk =5, ,

С помощью аппроксимации функция запишется в виде: