курсовая работа / гот СРП2

ВВЕДИНИЕ

Моделирование – процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на этой модели с целью получения необходимой информации об исследуемом объекте.

Различают два типа моделирования: предметное и абстрактное.

При первом способе моделирования строят физическую модель, соответствующим образом отражающую основные физический свойства и характеристики моделируемого объекта. При этом модель может иметь другую физическую природу, по сравнению с реальным объектом.

При абстрактном моделировании используют множество видов математических моделей, представляющие собой совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отражающих физические свойства создаваемого технического объекта. В общем случае уравнение математической модели связывает физические величины, характеризующие состояние объекта.

Модель – физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие физические свойства и характеристики моделируемого объекта.

Процесс моделирования включает в себя несколько этапов:

1. постановка задачи и определение свойств реального объекта, подлежащего исследованию;

2. констатация затруднительности или невозможности реального объекта;

3. выбор модели, хорошо описывающей основные свойства объекта, с одной стороны, и легко поддающаяся исследованию, с другой;

4. исследование модели в соответствии с поставленной целью;

5. проверка адекватности объекта и модели; если соответствий нет, то необходимо повторить п. а – г.

1 ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Рассчитать распределение тепла по алюминиевой пластине. Идентифицировать тип дифференциального уравнения. По заданному дифференциальному уравнению получить выражение для передаточной функции в распределенных параметрах, выражение для выходной величины. Построить статическую характеристику выходной величины, а также логарифмические характеристики.

Исходные данные:

2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СРП

Первый этап в развитии ТАУ связан с управляемыми системами состояния, которые характеризуется поведением во времени t некоторого набора функций одной переменой t конечного числа n:

(1)

Подобные системы обычно описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений относительно g(t) и называются системами с сосредоточенными параметрами. Модели большого числа объектов управления могут быть с достаточной для практической точности точностью ССП. По практике любой технический объект имеет вполне определенные геометрические размеры, поэтому функция характеризующая ее состояние изменяется в пределах пространственной области и следовательно зависит не только от времени, но и от пространственных координат.

Такие системы называются системы с распределенными параметрами. Состояние СРП описывается дифференциальным уравнением с частыми производными, интегральными уравнениями, а также гибридными. Функция состояния Q(x,t) определенная на пространственной области Д удовлетворяет уравнению:

L[Q(x,t)]=f(x,t) , t>0 (2)

где Д- открытая часть области Д не содержащая границы;

L- некоторый заданный оператор(функция в частных производных);

f(x,t)- известная функция характеризующая внешнее воздействие на процесс.

Если , то (2) – однородное уравнение,

, то (2)- неоднородное уравнение.

Если g(x,t)- векторная функция состояния , то (2)-представляет собой систему уравнений.

Для получения единственного решения уравнения (2) необходимо дополнить начальными условиями, которые описываются некоторым линейным оператором

N[Q(x,t)]=Q(x,t) , t=0 (3)

Полная система уравнений должна содержать граничные условия от Q(x,t) которые характеризуют взаимодействие Q(x,t) с внешней средой должно выполнятся условие t>0 на границе области Д.

(4)

где Г- линейный оператор;

- внешние воздействие, которое можно рассматривать как второй вход объекта наряду с .

Если , то граничное условие однородное и наоборот.

Уравнения математической физики являются основой для построения математической модели элементов систем уравнений с распределенными параметрами. Для их практического применения основной сложностью является выбор уравнения, который могло бы с заданной точностью и степенью достоверности описать интересующий элемент системой управления.

Самостоятельно составлять и получать в частных производных является сложной задачей, поэтому используют следующий алгоритм:

1) Выбирается система координат исходя из конструкции элемента СУ.

2. Выбирается размерностьr пространственной области D определения функции Q данной задачи.

3. Наивысший порядок производных m функции Q по независимой временной производной t ограничивается двойной.

4. Наивысший порядок производных n функции Q по пространственным переменным ограничивается двойной.

5. Выбирается дифференциальное уравнение группы ( r, m, n) в нужной системе координат.

6. Уравнение «офизичивается», то есть производится конструирование размерностей. Это означает, что задается первичная размерность, либо входному возмущению f (x, y, z, t ), либо выходному сигналу Q (x, y, z, t ). В зависимости оттого, что интересует. Далее рассчитываются вторичные размерности исходя из конкретного вида уравнения и зависящая от первичных размерностей.

7. Находится выходной сигнал и производится его сопоставление с ожидаемыми результатами.

8. Если результат не устраивает, выбираем другое уравнение и повторяем все процедуры заново.

Во многих случаях для описания физических процессов используют уравнений с частыми производными до второго порядка включительно.

Так, например, процессы распространения тепловой энергии описывается уравнением теплопроводности

,

где и С – плотность и теплоемкость вещества,

Т- температура,

k- коэффициент теплопроводности,

Q – плотность источника тепла.

Анализ стационарных состояний, например, статических тепловых, электрических, магнитных полях проводят, используя уравнение Пуассона

где u(x, y, z) – функция, описывающая статическое поле,

f( x, y, z)- распределенные источники.

Несмотря на различие процессов, все они могут быть представлены как частные случаи обобщенной формы дифференциального уравнения второго порядка.

Рассмотрим уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными x и y:

(1)

где A,B,C,D- некоторые функции, зависящие в общем случае от x, y,u.

На основании того, что уравнение 1 можно поставить в квадратичную форму

по природе различают следующие типы квазилинейных уравнений:

1. гиперболический, если В²-4АС>0- его аналогом является волновое уравнение;

2. параболический, В²-4АС=0-его аналог уравнение теплопроводности;

3. эллиптический, если В²-4АС<0- аналог уравнение Пуассона или Лапласа.

3 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТИПА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ЗАДАНИЕ ВХОДНОГО И ВЫХОДНОГО ПАРАМЕТРОВ, НАЧАЛЬНЫХ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Так как данное дифференциальное уравнение содержит первую производную по времени, то оно относится к параболическому типу. Также это уравнение является неоднородным.

Выходным параметром Q(x,y,t) в данной системе является температура, распределяющаяся по пластине.

В

g1(y,t)

ходным воздействием f(x,y,t) является поток тепла от нагревательного элемента.

y₁₌₁₀

Рисунок 1-Геометрические размеры пластины.

Аналитическая форма представлена на рисунке 1, а графическая форма записи входного воздействия на рисунке 2.

Рисунок 2- Вид входного воздействия

Граничные условия представлены на рисунке 3.

g1 (y,t):=sin(0.5t)+20

Рисунок 3- Граничные условия.

g2(x,t):=20

Зададим размерность входного возмущения.

,

где F- количество теплоты (теплой поток)

V-объем.

– удельная теплоемкость алюминия.

- плотность алюминия.

-коэффициент температуропроводности,

где -коэффициент теплопроводности алюминия.

Тогда а² =0.884 м²/с.

Пусть x₁ = 10-длина пластины, y₁ = 20-ширина пластины.

Начальные условия:

, что соответствует комнатной температуре пластины до начала действия нагревательного элемента.

Граничные условия:

, что соответствует изменение температуры на x₁ ребре пластины согласно рисунку 1.

- что соответствует изменение температуры на y₁ ребре пластины согласно рисунку 1

С учетом выше описанных условий стандартизирующая функция примет следующий вид:

4 РАСЧЕТ ВЫХОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Для определения вида статической характеристики воспользуемся функцией Грина:

Для этого первоначально произведем расчет выходной вылечены по формуле:

Воспользуемся свойствами – функции и для облегчения расчета разобьем сложный интеграл на более простые получим:

Сложим полученные интегралы и построим график зависимостей статической характеристики выходной величины при фиксированных значениях времени:

а

б

Рисунок -4. Статическая характеристика выходного сигнала: а - при фиксированном значении времени; б - при фиксированном значении координаты

5. РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ.

ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Найдем изображение по Лапласу стандартизирующей функции.

Выделим в явном виде компоненту входной координаты.

Выражение для имеет следующий вид:

Интегральная передаточная функция определяется выражением

Проведя интегрирование и все преобразования, получим следующее выражение для интегральной передаточной функции:

Для построения ЛАЧХ в полученной интегральной передаточной функции заменим р на jω и затем воспользуемся формулой:

Выполним расчет и построение ЛАЧХ с помощью программы Matchcad 2000, задав произвольно необходимые параметры:

Рисунок 5- ЛАЧХ.

6.МОДЕЛИРОВАНИЕ PDE

Начертим изображение пластины в графическом окне PDETool таким образом, чтобы стороны были равны x₁=10 и y₁=20, где x₁-размер по оси х, y₁-размер по оси y.

Будем задавать граничные условия Дирихле u=0 на левой и правой сторонах. На двух других сторонах примем условие Неймана

Укажем, что задача описывается уравнением параболического типа, и введем соответствующие коэффициенты:

Рисунок 6 –Ввод параметров дифференциального уравнения

Зададим параметры решения и начальные условия – исходная температура пластины при t=20.

Для этого воспользуемся диалоговым окном «Solve Parametrs». Вначале выберем шаг и верхний предел решения по времени. Для параметра Time введем стороку «0:0.1:10».Таким образом, расчет выполнятся по времени в пределах t=0…10 с шагом

Начальные условия также записываются с учетом особенностей языка пакета MATLAB.

Начальная температура указывается строкой 20.

Относительную и абсолютную погрешность примем равными 0,01и 0,001, сохранив установленные по умолчанию значения.

Рисунок 7 – Ввод параметров решения

Сформулируем сетку и настроим графические параметры решения с помощью диалогового решения с помощью окна «Plot Selection» представленную на рисунке 8:

Рисунок 8- Параметры анимации.

Завершающий этап – запуск решения задачи. После окончания вычислений в графическом окне интерфейса PDETool отображается изменение температуры пластины в момент пластины в момент времени t=10, а в дополнительном окне – анимация изменения температуры пластины, представленный на рисунке 10 .

Рисунок 9- Анимация изменения температуры пластины

Изменяя граничные условия и параметры уравнения посмотреть, как изменяется выходная величина задачи на рисунке 10.

Рисунок 10. Модуль градиента выходной величины

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе был произведен расчет системы с распределенными параметрами: распределение температуры по алюминиевой пластине. В ходе расчетов было выявлено ниже следующее.

Система устойчива, имеет высокие качественные характеристики и достаточно высокий коэффициент усиления. Наша система не требует дальнейшей доработки. Это означает, что мы правильно подобрали начальные, граничные условия и дифференциальное уравнение для описания данной системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов.-МН.: ДизайнПРО, 2004.

2. Тетрадь с лекциями по дисциплине «Сплошные среды и элементы с распределенными параметрами».

3. Арсенин В. Я. Математическая физика. – М. Наука, 1966.

21

УИТС.831224.001 КР