2.7 Анализ динамических свойств гидросистемы
Динамическая модель описывает переходный процесс гидросистемы. В общем случае система дифференциальных уравнений, описывающих гидравлическую систему имеет вид:
(73)
где А – матрица Якоби динамической системы,
вектор
фазовых координат,
вектор
невязок,
вектор
функции внешних воздействий.
С учетом произведенных ранее расчетов запишем систему дифференциальных уравнений, составляющую динамическую гидросистему:
(74)
Так как система дифференциальных уравнений нелинейная, то элементами матрицы Якоби являются частные производные по фазовым координатам:
Переходную характеристику определяют в результате численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, для чего необходимо провести выбор ряда параметров.
Пусть переходный процесс оценивается как реакция системы, находящейся в состоянии покоя на ступенчатое воздействие вида:
(75)
где
и
– начальные и конечные значения функции
воздействия u(t),
причем
и
–
const .
Начальные и конечные значения всех фазовых координат определены при анализе статического состояния (таблица 2.5)
,
,
(76)
Если система устойчивая, то через некоторый промежуток времени система придет из состояния V0 в состояние Vk. Для численного интегрирования будем использовать неявный метод Эйлера. Вектор входных воздействий при t≥0 имеет вид:
(77)
Формула численного интегрирования метода Эйлера имеет вид:
(78)
Совместное преобразование двух последних выражений приводят к записи:
(79)
где
– модифицированная матрица Якоби на
(к+1) шаге, которая формируется по следующим
правилам:
Диагональные элементы матрицы Якоби на k-ом шаге пересчитываются по формуле:
(80)
Остальные элементы не изменяются:
(81)
– модифицированный
вектор входных воздействий на k+1
шаге.
(82)
Решение
системы уравнений дает значение фазовых
координат на к+1 шаге, т. е. в момент
времени
.
Алгоритм неявного метода Эйлера с постоянным шагом интегрирования h:
1) задание шага интегрирования h
2)
задание начальных значений переменных
при
t0=0;
3) вычисление времени tk+1=tk+h, где k=0,1,2… ;
4)
вычисление матриц
и
на к+1 шаге
5)
Решение системы уравнений
с целью определения
в момент времени tk+1;
6)
Переход к этапу 3 до тех пор, пока в случае
устойчивой системы фазовые координаты
не достигнут состояния конечного
значения
или не будут доказательства неустойчивой
системы.
Начальные
значения вектора
определяется на основании входных
воздействий системы. В качестве начальных
значений фазовых переменных берем
вектор начальных значений
.
(83)
Переходные процессы гидросистемы:
Рисунок 12 – Переходные процессы расходов Q1, Q2, Q3, Q4
Рисунок 13 – Переходный процесс гидросистемы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе выполнения курсовой работы произведено моделирование на микроуровне и макроуровне.
Изучена теория систем с распределенными параметрами применительно к конкретной выбранной задаче математической физики, произведен расчет выходной распределенной величины, интегральной передаточной функции, построены логарифмическая характеристика и ее аппроксимация стандартными типовыми наклонами.
На стадии моделировании на макроуровне исследовали статическую и динамическую модель гидросистемы. Решена система дифференциальных уравнений статической модели методом Ньютона, а динамическую модель рассчитали методом Эйлера. Построен переходной процесс системы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Бутковский А.Г., Характеристики систем с распределенными параметрами. Наука, 1979.-224с.
2. Бессекерский В.А., Попов Н.П. Теория систем автоматического регулирования. М.; Наука 1966.-992с
3. Власов В.В. Синтез интегральной передаточной функции для объектов управления с распределенными параметрами. //Школа академика Власова: Сб. метод, тр-М.,Буркин, 1998.-128с.
Заключение
В рамках курсовой работы мы овладели навыками расчетов согласно теории систем с распределенными параметрами. Ознакомились с уравнениями и специальными функциями математической физики. Сформировали математические модели системы в динамическом и статическом режиме. Использовали при этом различные формы представления моделей: графической, матричной, в виде системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши и линейных уравнений. Проанализировали полученные динамические модели. С помощью программы Elcut рассмотрели поведение модели при воздействии на нее различной температуры.
Список используемой литературы
1. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: учебник для вузов / В.П.Тарасик. – Мн.: ДизайнПРО, 2004. – 640с.: ил.
2. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами.– М.: Наука, 1979. – 64 с.
Разраб.
Пров.
Вахидова
Мефедова
Изм.
Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Н.контр.
Утв.
Лит.
Лист
Листов
2
33
БИТТиУ УИТ-42
УИТС 072064.205 ПЗ
Моделирование на микро и макро уровне
Пояснительная записка