2.4 Узловой метод формирования математической модели

Из матрицы инциденций можно получить систему уравнений математически описывающие функционирование гидравлической системы:

(50)

(51)

(52)

где А_Д, А_У, А_В – подматрицы инциденций;

– векторы давлений;

– векторы расходов;

m, c,μ– диагональные матрицы параметров элементов гидравлической системы.

На основании матрицы инциденций запишем подматрицы упругих А_У, диссипативных А_Д элементов и подматрицу источников потенциалов А_В:

Матрицы параметров инерционных, упругих и диссипативных элементов гидравлической системы соответственно:

.

Матрица потенциалов источников Рв, упругих Ру и диссипативных

Р_д, элементов и матрица фазовых переменных типа потока Q:

, , ,

.Для нашего случая система будет иметь вид:

(53)

где давление диссипативных элементов описывается системой уравнений:

(54)

2.5 Расчет парметров трубопровода гидросистемы

Значения коэффициентов линейных и нелинейных потерь для конкретной магистрали находят по формулам:

- площадь сечения трубопровода, м²:

(55)

-объём трубопровода, м³:

(56)

-доля объёма трубопровода

(57)

-коэффициент массы, кг/м⁴:

(58)

-коэффициент линейных потерь, Н·с/м⁵:

(59)

-коэффициент нелинейных потерь, Н·с/м⁵:

(60)

-коэффициент жёсткости участка, Н/м⁵:

(61)

-коэффициент жёсткости элемента, Н/м⁵:

(62)

Полученные результаты для отдельных участков трубопровода приведены в таблице 4

Таблица 4 – Параметры трубопровода гидросистемы

Параметр	Номер магистрали
	1	2	3	4
Площадь сечения трубопровода, Sтр, ·10-4 м2	5	7	7	8
Объем трубопровода, Vтр, ·10-4 м3	7.5	17.5	14	7.2
Доля объема трубопровода, Ψ	0.16	0.38	0.3	0.16
Коэффициент массы, mг, ·106 кг/м4	3	3	2	1
Коэффициент линейных потерь, μл, ·106 Н·с/м5	20	17	13	46
Коэффициент нелинейных потерь, μл, ·1010 Н·с/м5	69	48	4	2
Коэффициент жесткости участка, сг, ·1012 Н/м5	3.4	1.3	1.6	3

C_г=9.4*10¹¹ Н/м⁵.

2.6 Расчет статического режима работы гидросистемы

При постоянных внешних воздействиях система находится в установившемся равновесном состоянии. Её фазовые координаты при этом постоянны, такой режим функционирования системы называется статический. Статическое состояние гидросистемы достигается при постоянных внешних воздействиях.

1)Подачи насосов Pн1,Pн2.

2)Давлениим потребителей Рв1,Рв2.

При этом устанавливаются постоянные значения фазовых координат.

1)Расходы жидкости в гидромагистралях Q1, Q2, Q3, Q4.

2)Давление в упругом элементе Ру1.

Полагая и, получим следующую систему нелинейных алгебраических элементов:

(63)

Компонентное уравнение в диссипативных элементах в гидросистеме носят более сложный характер при этом выделяют линейные и нелинейные потери давления в гидромагистрали при этом их компонентные уравнения, запишутся виде:

, i =1..5 (64)

где – коэффициент гидравлического сопротивления, характеризующий линейные потери при ламинарном режиме движения жидкости.

– коэффициент гидросопротивления характеризующий нелинейные потери при турбулентном режиме движения жидкости.

С учетом этого уравнения, преобразуем систему к следующему виду:

(65)

Полученная система уравнений является статической моделью системы, где в левой части известны значения входных воздействий. Для ее решения используется различные численные методы, для которых предварительно необходимо составить матрицу Якоби.

Матрица Якоби характеризует важнейшие свойства физической системы, а так же свойства уравнений математической модели, модель статического состояния гидросистемы, представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений вида: F(V) = 0

Элементами матрицы Якоби в этом случаи, являются частные производные от нелинейной вектор функции F(V) = (f₁,f₂ …f_n) по фазовым коэффициентам системы (Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Ру₁).

Для решения данной системы составим матрицу Якоби. Элементами матрицы Якоби являются частные производные по фазовым координатам.

(66)

В системе уравнений, нелинейной является функция P_дi=f(Q) , для них частные производные имеют вид:

(67)

Тогда матрица Якоби, исследуемой гидросистемы, имеет вид:

Для решения статической модели используем численный метод Ньютона, алгоритм которого включает следующие этапы:

-выбор начального приближения

где - вектор фазовых координат, (68)

– нулевой вектор-столбец. (69)

-вычисление матрицы Якоби J_k в точке (k=0, 1, 2, 3…);

-вычисление вектора невязок . Вектор невязок получается из системы уравнений для статического режима:

(70)

-определение вектора поправок:

. (71)

-определение нового приближения вектора искомых фазовых координат:

. (72)

-проверка условия окончания итерационного процесса.

Если V_k и V_k+1 соизмеримы (совпадают до десятых долей) процесс завершается, иначе происходит переход на второй этап.

Расчёт фазовых координат для статического режима произведён в математическом пакете MathCad.

Результаты вычислений представлены в таблице 5

Таблица 5 – Результаты статического анализа

Фазовые координаты	Pн1=0.2*106 Па Pн2=0*106 Па	Pн1=0.2*106 Па Pн2=0.2*106 Па
Q1, м3/c	2.1*10-14	-1.5*10-15
Q2, м3/c	2.8*10-14	2.2.96*10-15
Q3, м3/c	5.9*10-14	0
Q4, м3/c	-9*10-15	0
Ру, Па	6.21*10-7	1.69*10-7