1.3 Расчёт статической характеристики
Выходная величина Q(r,t) находится как сумма двух составляющих:
Q(r,t)=Q1(r,t) + Q2(r,t), (17)
где Q1(r,t) и Q2(r,t) – первая и вторая составляющие выходной величины и находятся как:
Q1(r,t)=
,t)(10
+300)δ(τ)d
dτ
(18)
Q2(r,t)=
,t)δ(1-
)1.15*10-4*(300sin(0,1τ)+310)d
dτ
(19)
В данных выражениях можно избавиться от одного интеграла, применив свойства δ-функции.
Q1(r,t)=
(20)
Q2(r,t)=
,t)δ(1-
)1.15*10-4*300sin(0.1τ)+310)dτ
(21)
По условию функция Грина имеет вид:
G(r,ρ,t)=
(22)
Найдем
µк
с помощью пакета прикладных программ
MathCad
Рисунок 3 – График функции Бесселя
µк1=0.7,
µк2=3.94,
µк3=7.04,
µк4=10.2,
µк5=13.3.
После того как мы избавимся от δ-функции интеграл Q(r,t)примет вид:
Q(r,t)= Q11(r,t)+ Q12(r,t)+ Q13(r,t)+ Q14(r,t)+ Q15(r,t)+ Q21(r,t)+ Q22 (r,t)+ Q23(r,t)+ Q24(r,t)+ Q25(r,t), (23)
где
Q11(r,t)=
(10
(10
(24)
Q12(r,t)=
(10
(10
(25)
Q13(r,t)=
(10
(10
(26)
Q14(r,t)=
(10
(10
(27)
Q15(r,t)=
(10
(10
(28)
Так R=1, то интеграл примет вид:
Q21(r,t)=
0,1τ)+310)dτ=
*
0,1τ)+310)dτ
(29)
Q22(r,t)=
*
0,1τ)+310)dτ=
*
0,1τ)+310)dτ
(30)
Q23(r,t)=
0,1τ)+310))dτ=
*
0,1τ)+310)dτ
(31)
Q24(r,t)=
0,1τ)+310)dτ=4
*
0,1τ)+310)dτ
(32)
Q25(r,t)=
0,1τ)+310)dτ=1,6
*
0,1τ)+310)dτ
(33)
Рисунок 4 – График выходной величины Q(r,t) при t=10 c
1.4 Расчёт интегральной передаточной функции
По заданному дифференциальному уравнению объекта получим выражение для передаточной функции в распределённых параметрах.
Континуальная передаточная функция имеет вид:
(34)
ω=(10r+300)δ(t)+1.15*10-4δ(1-r)(300sin(0,1t)+310)
Преобразование по Лапласу стандартизирующей функции:
(35)
Так
как входное воздействие равно нулю то,
,
и интегральную передаточную функцию
представим в виде:
(36)
Подставим в выражение исходные данные и найдем интегральную передаточную функцию в точке ,ограничив количество членов ряда до 3:
(37)
(38)
=
(39)
=
(40)
(41)
=
(42)
==
(43)
==
(44)
1.5 Построение логарифмических характеристик, синтез аппроксимированной передаточной функции
Для получения частной передаточной функции в уравнении (20) заменим p на jω, воспользовавшись программой MathCad 11, при х=R/2, получим:
W(ω)=
(45)
Найдем ЛАЧХ по выражению:
(46)
На рисунке 5 представим ЛАЧХ, построенную в программе MathCad 11. Аппроксимируя полученную ЛАЧХ её стандартными типовыми наклонами получаем 0 дб/дек и -40 дб/дек, что соответствует апериодическому звену первого порядка. Тогда передаточная функция будет иметь вид:
, (47)
где Т - период, с;
k
- коэффициента передачи.
0 дБ/дек
-40 дБ/дек
ω1
Рисунок 5 – График логарифмической амплитудно-частотной характеристики
Найдем Т при условии, что:
(48)
где ω1 - частота аппроксимированной ЛАЧХ, Гц.
T=1/2.5=0.04, [с]
График ЛАЧХ пересекает ось Y в точке -38,8. Определим значение коэффициента передачи k:
20∙lgk = 23,
С помощью аппроксимации функция запишется в виде:
W(p)=
(49)