2.4 Узловой метод формирования математической модели

Из матрицы инциденций можно получить систему уравнений, математически описывающие функционирование гидравлической системы:

где Ад, Ау, Ав – подматрицы инциденций;

– векторы давлений;

– векторы расходов;

m, c, μ – диагональные матрицы параметров элементов гидравлической системы.

Для нашего случая система будет иметь вид:

2.5 Расчет параметров трубопровода гидросистемы

Значения коэффициентов линейных и нелинейных потерь для конкретной магистрали находят по формулам:

-площадь сечения трубопровода, м_­­²:

- коэффициент линейных потерь, Н с/м⁵:

- коэффициент нелинейных потерь, Н с/м⁵:

-коэффициент жесткости участка:

где – доля объема трубопровода;

-объем трубопровода:

Доля объема трубопровода рассчитывается как отношение объема отдель­ного участка к сумме объемов всех n соединенных между собой участков:

где - объем трубопровода i – ого участка, м³.

Коэффициент жесткости упругого элемента:

По исходным данным и полученным результатам получаем жесткость уп­ругих элементов: C₁ = 8.11 10¹¹;

Коэффициент массы:

Полученные результаты для отдельных участков трубопровода приведены в таблице 2.4

Таблица 2.4 - Параметры трубопровода гидросистемы

Параметр	Номер магистрали
	1	2	3	4	5
Площадь сечения трубопровода, Sтр10-4 м2	1,766	1,766	1,13	0,785	3,14
Объем трубопровода, Vтр 10-4 м3	2,296	2,119	2,261	1,099	2,072
Доля объема трубопровода,	0,233	0,215	0,23	0,112	0,21
Коэффициент массы, 106 кг/м3	6,33	5,843	15,22	15,34	1,808
Коэффициент линейных потерь, 10-7 Нс/м5	1,355	1,25	5,088	7,385	0,218
Коэффициент нелинейных потерь, 10-10 Нс/м5	9,547	9,979	30,85	55,27	1,799
Коэффициент жесткости участка, 10-12 Н/м5	3,135	3,679	3,242	13,74	3,832

2.6 Расчет статического режима работы гидросистемы

При постоянных внешних воздействиях система находится в установив­шемся равновесном состоянии. Её фазовые координаты при этом постоянны, та­кой режим функционирования системы называется статический. Статическое со­стояние гидросистемы достигается при постоянных внешних воздействиях:

1) Давлением насоса Рн.

2) Давлением потребителей Рв1, Рв2, Рв3, Рв4.

При этом устанавливаются постоянные значения фазовых координат:

1. Расходы в жидкости гидромагистралей Q1, Q2, Q3, Q4.

2. Давление в упругом элементе Ру₁.

Полагая и , получим следующую систему нелинейных алгебраических элементов:

;

Компонентное уравнение в диссипативных элементах в гидросистеме носят более сложный характер, при этом выделяют линейные и нелинейные потери давления в гидромагистрали при этом их компонентные уравнения запишутся в виде:

, i=1..5

где – коэффициент гидравлического сопротивления, характеризующий ли­нейные потери при ламинарном режиме движения жидкости.

- коэффициент гидросопротивления характеризующий нелинейные по­тери при турбулентном режиме движения жидкости.

С учетом этого уравнения, преобразуем систему к следующему виду:

Полученная система уравнений является статической моделью системы, где в правой части известны значения входных воздействий. Для ее решения ис­пользуется различные численные методы, для которых предварительно необхо­димо составить матрицу Якоби.

Матрица Якоби характеризует важнейшие свойства физической системы, а так же свойства уравнений математической модели, модель статического состоя­ния гидросистемы, представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений вида:

Элементами матрицы Якоби в этом случае, являются частные производные от нелинейной вектор функции по фазовым коэффициентам системы (.

В системе уравнений, нелинейной является функция , для них частные производные имеют вид:

Тогда матрица Якоби, исследуемой гидросистемы, имеет вид:

Для решения статической модели используем численный метод Ньютона, алгоритм которого включает следующие этапы:

- выбор начального приближения , где – вектор фазовых координат ( , V₀ – нулевой вектор-столбец;

- вычисление матрицы Якоби J_k в точке (k=0,1,2 …);

- вычисление вектора невязок . Вектор невязок получается из системы уравнений (2.14) для статического режима:

• определение вектора поправок:

• определение нового приближение вектора искомых фазовых переменных:

- проверка условий окончания итерационного процесса, при выполнении условия, что и соизмеримы (совпадают до десятых), иначе осуществляется переход на предыдущие этапы и вычисляется следующая итерация.

Расчет фазовых координат при статическом процессе произведен в математическом пакете Mathcad.

Таблица 2.5 - Результаты статического анализа

Фазовые координаты	Рн = 0,25106
Q1, м3/с
Q2, м3/с
Q3 м3/с
Q4, м3/с
Q5, м3/с
Ру1, Па