3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида

Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями y₁, y₂ и y₃:

(5)

где все коэффициенты а_i,j (i, j = 1,2,3) – постоянные. Будем искать частное решение системы (5) в виде

y₁ = , y₂ = , y₃ = (6)

где а, β, γ, k – постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (6) удовлетворяли системе (5).

Подставив эти функции в систему (5) и сократив на множитель , получим:

или

(7)

Систему (7) можно рассматривать как однородную систему трех алге­браических уравнений с тремя неизвестными а, β, γ. Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

(8)

Уравнение (8) называется характеристическим уравнением, систе­мы (5). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени от­носительно k. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и раз­личны: k₁, k₂, k₃. Для каждого корня k_i (i = 1,2,3) напишем систему (7) и определим коэффициенты а_i, β_i, γ_i (один из коэффициентов можно счи­тать равным единице). Таким образом, получаем:

для корня k₁ частное решение системы (5): y₁⁽¹⁾ = , y₂⁽¹⁾ = =, y₃⁽¹⁾ = ;

для корня k₂ – y₁⁽²⁾ = , y₂⁽²⁾ = , y₃⁽²⁾ = =;

для корня k₃ – y₁⁽³⁾ = , y₂⁽³⁾ = , y₃⁽³⁾ = =.

Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системы (5) записывается в виде

y₁⁽¹⁾ =c₁, y₂⁽¹⁾ = c₂, y₃⁽¹⁾ = c₃,

y₁⁽²⁾ = c₁, y₂⁽²⁾ = c₂, y₃⁽²⁾ = c₃, (9)

y₁⁽³⁾ = c₁, y₂⁽³⁾ = c₂ , y₃⁽³⁾ = c₃.

Пример 3. Решить систему уравнений .

Решение. Характеристическое уравнение данной системы имеет вид: , или 1 - 2k + k² - 4 = 0, k² - 2k - 3 = =0, k₁ = -1, k₂ = 3. Частные решения данной системы ищем в виде: y₁⁽¹⁾ =, y₂⁽¹⁾ = и y₁⁽²⁾ = , y₂⁽²⁾ = . Найдем α_i и β₁ (i = 1, 2). При k₁ = -1 система (7) имеет вид: т.е. Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим α₁ = =1, тогда β₁ = 2. Получаем частные решения y₁⁽¹⁾ =, y₂⁽¹⁾ = . При k₂ = 3 система (7) имеет вид: Положим α₂ = 1, тогда β₂ = -2. Значит, корню k₂ = 3 соответствуют частные решения: y₁⁽²⁾ = , y₂⁽²⁾ = . Общее решение исходной системы, согласно формуле (9), запишется в виде y₁ =c₁+c₂, y₂ = 2c₁ -2c₂.

Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: k₁ = а + ib, k₂ = а - - ib, k₃. Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.

Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их ли­нейные комбинации, применяя формулы Эйлера; в ре­зультате получим два действительных решения, содержащих функции ви­да е^ах·cos bx, e^ax·sin bx. Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действитель­ных частных решения (можно показать, что они тоже являются решени­ями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень k₂ = a - ib не даст новых линейно независимых действительных решений.

Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень k кратности т (т = 2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:

а) если т = 2, то у₁ = (А + Вх)е^kх, у₂ = (С + Dx)e^kx ,у₃ = (Е + + Fx)e^kx;

б) если т = 3, то _У1 = (А + Вх + Сх²)е^kх, у₂ = (D + Ex + +Fx²)e^kx, уз = (G + Hx + Nx²)e^kx.

Это решение зависит от m произвольных постоянных. Постоянные А, В, С, ..., N определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим т линейно независимых частных решений системы (5).

Пример 4. Решить систему уравнений

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение ,

(1 - k)(2 - 2k - k + k² - 1) - (-2 + k + 1) = 0, k₁ = 2, k₂ = k₃ = 1. Корню k₁ = 2 соответствует система (см. (7)): или . Полагая γ₁ = 1, находим α₁ = 1. Получаем одно частное решение исходной системы: y₁⁽¹⁾ = , y₂⁽¹⁾ = 0, y₃⁽¹⁾ = .

Двукратному корню k = k₂ = k₃ = 1 (m = 2) соответствует решение вида y₁^(2,3)=(А + Вх)е^х, y₂^(2,3)=(С + Dх)е^х, y₃^(2,3)=(E + +Fх)е^х. Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы или, после сокращения на е^х ≠ 0 и группировки,

Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда

Выразим все коэффициенты через два из них (m = 2), например через А и В. Из второго уравнения имеем F = B. Тогда, с учетом первого уравнения, получаем D = B. Из четвертого уравнения находим E = A - D, т.е. E = A - B. Из третьего уравнения: C = E - B, C = A - 2 B. Коэффициенты A и B - произвольные.

Полагая А = 1, В = 0, находим: С = 1, D = 0, E = 1, F = 0.

Полагая А = 0, В = 1, находим: С = -2, D = 1, E = -1, F = 1.

Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню k = 1: y₁⁽²⁾ = , y₂⁽²⁾ = , y₃⁽²⁾ = и y₁⁽³⁾ = , y₂⁽³⁾ = , y₃⁽³⁾ = . Записываем общее решение исходной системы:

y₁ = c₁+c₂ + с₃х,

y₂ = c₂ +c₃(х - 2),

y₃ = c₁+c₂ + с₃(х - 1).