Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт, техники, технологии и управления

Разработка моделей систем управления в пространстве состояний с использованием преобразований подобия

Методические указания к выполнению практической работы

по дисциплине «Моделирование систем» для студентов специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах» всех форм обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники,

технологии и управления

Балаково 2010

ВВЕДЕНИЕ

Системы управления с одним входом и одним выходом характе-ризуются внешними и внутренними характеристиками. Внешние характеристики однозначны. Это передаточные функции и диффе-ренциальные уравнения. Количество внутренних характеристик (моделей состояния) неограниченно. Ранее изучены три схемы моделирования, характеризующиеся своими матрицами , , . В действительности для характеристики одной и той же системы можно предложить не-ограниченное количество матриц , , , каждой из которых будет соответствовать модель в переменных состояния. Выбор той или иной модели обусловлен:

- необходимостью иметь в качестве переменных состояния естественные физические величины (скорость, положение, ток и т.д.), что позволяет перенести результаты моделирования на физическую модель без предварительных преобразований;

- необходимостью облегчить синтез системы управления;

- необходимостью формализировать процесс расчета.

Таким образом, существуют такие преобразования подобия, которые изменяют внутреннюю структуру системы (модель состояния), но не из-меняют соотношение между входом и выходом системы (передаточную функцию).

Цель работы - изучение методов применения теории подобия при разработке моделей систем управления в пространстве состояний.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Преобразования подобия часто используются в современной теории управления, так как приходится определять различные характеристики систем в разных базисах. Модель системы в пространстве состояний:

.

(1)

Введем невырожденное линейное преобразование:

,

(2)

где - вектор состояния системы в новом базисе;

- произвольная невырожденная матрица.

Невырожденность матрицы определяется ее рангом или определителем. Для невырожденной матрицы ранг должен быть равен степени характеристического уравнения, или её определитель не должен быть равен нулю.

Для перехода к новому базису умножим первое уравнение системы (1) на , а затем значение из (2) подставим в систему (1):

(3)

В новых переменных уравнение системы принимает вид:

(4)

Преобразованные матрицы новой системы координат вычисляются по формулам:

(5)

Матрицы, связанные последним соотношением, определяются как подобные. У этих матриц равны характеристические многочлены, определители и собственные значения. Передаточные функции, связывающие выходные сигналы с входными сигналами, у подобных матриц также одинаковы.

Для конкретной системы можно предложить неограниченное количество моделей в переменных состояния. Желательно так выбрать базис, чтобы матрицы были "удобны", т.е. их легко можно было получить, их удобно использовать при доказательстве теорем, с их помощью просто создать схемы моделирования, а, главное, результаты моделирования просто переносить на физическую модель. Этим требованиям удовлетворяют модели, созданные в базисах:

- управляемое каноническое представление (УКП);

- идентификационное каноническое представление (ИКП).

Запись матриц в форме УКП осуществляется относительно просто по дифференциальному уравнению, характеристическому уравнению или передаточной функции.

Если первая часть дифференциального уравнения имеет производные от входного воздействия, т.е. числитель передаточной функции определяется некоторым многочленом:

(6)

то УКП форма имеет вид:

,, .

(7)

Каноническое представление удобно для моделирования, так как матрицы и имеют минимальное число ненулевых элементов (рис.1).

Идентификационное каноническое представление тех же матриц записывается как:

, , .

(8)

Структурная схема моделирования в форме идентификационного канонического представления (ИКП) приведена на рис.2 [1].

Рис.1. Структурная схема системы в УКП форме

Сравнение матриц , , , записанных в базисах УКП и ИКП, показывает пути преобразования матриц. Так, если уравнения записаны в форме УКП (матрицы имеют подстрочный символ У), а следует перейти к форме ИКП (матрицы имеют подстрочный символ И), то необходимо:

- чтобы получить надо транспонировать , т.е. ;

- чтобы получить надо транспонировать _, т.е. ;

- чтобы получить надо транспонировать , т.е. .

Рис.2. Структурная схема системы в ИКП форме

Переход от базиса УКП к базису ИКП относится к широко используемому, но частному случаю.

В общем случае необходимо уметь любую матрицу и любой вектор записывать в разных базисах. Переход к новому базису осуществляется с помощью матрицы перехода , которая, согласно теореме, единственна и вычисляется по формуле:

,

(9)

где - пара матриц, заданных в исходном базисе;

- пара матриц, заданных в новом (преобразованном) базисе.

Применим эту теорему для определения матрицы перехода от базиса, определяющего матрицы , , в форме УКП (обозначим эти матрицы через ), к базису, определяющему эти матрицы в форме ИКП (обозначим матрицы через ).

.

(10)

Так как , а , то матрица перехода от базиса УКП к базису ИКП принимает вид:

.

(11)

Таким образом, можно либо непосредственно из матриц в форме УКП перейти к матрицам в форме ИКП, согласно описанному выше правилу, либо воспользоваться матрицей перехода (11).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. По заданному дифференциальному уравнению записать передаточную функцию системы и проверить значение на выходе при подаче единичного постоянного внешнего воздействия с помощью соответствующей модели в Simulink.

2. На основании выражений (7) записать матрицы А, В, С в форме управляемого канонического представления (УКП), построить структурную схему согласно рис.1 и модель в Simulink. Сравнить результаты с п.1.

3. Перейти к идентификационному каноническому представлению с помощью правила перехода, сравнить полученные матрицы с выражением (8). Построить структурную схему согласно рис.2 и модель в Simulink. Сравнить результаты с п.1,2.

4. Получить матрицу перехода Р от УКП к ИКП. Записать с ее помощью матрицы в форме ИКП, сравнить с матрицами, полученными при выполнении п.3.

5. Осуществить переход к новому базису с использованием произвольной невырожденной матрицы Р, построить структурную схему и модель в Simulink. Сравнить результат и сделать выводы.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Пусть дано дифференциальное уравнение вида:

.

(12)

1. Запишем передаточную функцию системы

.

(13)

Согласно (6), передаточная функция имеет коэффициенты:

,

(14)

Т.е . , , , , .

Модель системы в Simulink представлена на рис.3.

Рис.3. Модель системы на основании передаточной функции (13)

2. Введем обозначения:

.

(15)

В соответствии с уравнением состояния (15), запишем матрицы:

, , .

(16)

С другой стороны, в соответствии с выражением (7), матрицы в форме УКП в общем виде и с учетом численных значений коэффициентов диффе-ренциального уравнения:

, , .

(17)

Получаем те же матрицы, что и в (16), т.е. матрицы (16) представлены в форме УКП. Структурная схема, соответствующая этим матрицам, приведена на рис.4, а модель в Simulink - на рис.5.

Рис.4. Структурная схема системы в УКП форме

Рис.5. Модель системы в УКП форме в Simulink

Результат на основании моделей рис.3 и рис.5 совпадает, что говорит о том, что обе структуры дают одинаковые внешние данные.

3. Перейдем к идентификационному каноническому представлению с помощью правила:

, , .

(18)

Тогда имеем:

, , .

(19)

С другой стороны, в соответствии с выражением (8) и с учетом численных значений коэффициентов матрицы в форме ИКП:

, , .

(20)

Получаем те же матрицы, что и в (19).

Структурная схема системы в форме идентификационного канонического представления (ИКП) представлена рис.6, а компьютерная модель в Simulink - на рис.7.

Рис.6. Структурная схема системы в ИКП форме

Результаты пунктов 1, 2 и 3 идентичны, т.е. изменяя внутреннюю структуру системы, получили одинаковые внешние параметры.

Рис.7. Модель системы в ИКП форме в Simulink

4. Получим матрицу перехода Р от УКП к ИКП с помощью выражения (11). Отдельные матрицы и матричные произведения этого выражения имеют вид:

, , , , , , ,

, , .

Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой:

, где - определитель некоторой матрицы А; Мi,j – миноры матрицы А.

Тогда матрица перехода:

.

(21)

Запишем матрицы в форме ИКП на основании выражений:

, , .

(22)

В результате имеем:

.

Результаты получены идентичные результатам пункта 3, что говорит о верности расчета матрицы перехода.

5. Осуществим переход к новому базису с использованием произвольной невырожденной матрицы Р, которую примем в виде:

.

(23)

Определитель данной матрицы равен 1, т.е. не нулевой, следовательно, данная матрица является невырожденной. На основании выражений (22) матрицы в новом базисе имеют вид:

, , .

(24)

Дифференциальные уравнения, соответствующие новому базису:

.

(25)

Модель в Simulink на основе системы уравнений (25) представлена на рис.8. Результаты и в этом случае совпадают.

Рис.8. Модель системы на основании уравнений (23)

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

№ п/п	Передаточная функция исследуемой системы	№ п/п	Передаточная функция исследуемой системы
1	2	3	4
1		13
2		14
3		15
4		16
5		17
6		18
7		19
8		20
9		21
10		22
11		23
12		24

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что в системе изменяется, а что нет при использовании преобразований подобий?

2. Какое количество матриц , и можно записать для одной конкретной системы?

3. Как по дифференциальному уравнению записать матрицы , и в управляемом и идентификационном каноническом представлениях?

4. Как записать матрицы , и в форме ИКП, если известны эти матрицы в управляемой канонической форме?

5. Как рассчитывается матрица перехода от базиса УКП к базису ИКП?

6. Какой вид имеет структурная схема системы, заданной в форме УКП?

7. Какой вид имеет структурная схема системы, заданной в форме ИКП?

ВРЕМЯ, ОТВЕДЕННОЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Подготовка к работе – 1,0 акад.час

2. Выполнение работы – 3,0 акад.часа

3. Оформление работы – 1,0 акад.час

ЛИТЕРАТУРА

1. Соседка В.Л. Современная теория управления: учеб.пособие для студ. высш.учеб.заведений / В.Л.Соседка. – Днепропетровск: НГУ, 2003. – 144 с.

2. Филипс Ч. Системы управления с обратной связью / Ч.Филлипс, Р.Харбор. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. – 616с.

3. Матричные методы расчета и проектирования сложных систем автоматического управления для инженеров / под ред. К.А.Пупкова и Н.Д.Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им.Баумана, 2007. – 664 с.