Тема 3.

Математическая модель электрической цепи.

1. Матрица главных сечений и ее свойства.

Возьмем граф некоторой цепи (рис. 2а).

Совокупность ветвей графа, в которой оказываются представленными все узлы, но при этом не образуется ни одного замкнутого контура, называют деревом графа. На рис. 2б, в представлены два варианта деревьев графа, построенные из графа цепи на рис. 2а (можно построить и другие варианты дерева). Ветви, входящие в выбранное дерево называются ребрами. Ветви, не вошедшие в выбранное дерево, называются хордами. Таким образом, каждая ветвь графа является либо его ребром, либо хордой. Замкнутая линия, которая однократно пересекает некоторую совокупность ветвей графа и разделяет граф на две несвязанные части называется сечением. Если такая линия пересекает одно ребро, то сечение считается главным. На рис. 3 показан пример построения главных сечений.

Здесь главным сечениям присвоены номера тех ребер, которые входят в эти сечения.

Обычно ЗКТ формулируется относительно узлов, но его можно формулировать и относительно главных сечений. ЗКТ для сечений звучит так: алгебраическая сумма токов относительно главного сечения равна нулю.

Придерживаясь такой формулировки ЗКТ, получаем следующую систему уравнений для главных сечений, показанных на рис. 3.

і₁+і₅+і₆=і₉ или і₁=-і₅-і₆+і₉

(для главного сечения С₁).

і₂=і₅ (для главного сечения С₂);

і₃=і₆-і₈-і₉ (для главного сечения С₃);

і₄=і₅+і₈ (для главного сечения С₄);

і₇=-і₈-і₉ (для главного сечения С₇).

Запишем эту систему уравнений в матричной форме:

можно подобную систему уравнений представить в общем виде, справедливом для произвольной схемы.

М

хорды

атрица называется матрицей главных сечений. Она определяет связь между токами ребер и токами хорд . Строки матрицы главных сечений принадлежат ребрам, а столбцы – хордам графа.

И

з матрицы вытекает не только система уравнений по ЗКТ, но и система уравнений по ЗКН. Элементы столбцов матрицы являются коэффициентами, линейно связывающими напряжение хорд, соответствующих столбцов, с напряжением ребер. Так, для указанной выше матрицы можно записать следующую систему уравнений для ЗКН:

U₅=U₁-U₂-U₄

U₆=U₁-U₃

U₈=U₃-U₄+U₇

U₉=-U₁+U₃+U₇

В матричной форме эту систему уравнений можно записать так

где - вектор напряжения хорд;

- транспонированная матрица ;

- вектор напряжения ребер.

Таким образом, матрица главных сечений определяет полную систему топологических уравнений.

2. Матрица главных сечений произвольной схемы.

В матрице главных сечений, как уже отмечалось, столбцы принадлежат хордам, а строки – ребрам дерева графов. При построении дерева графов обычно в ребрах группируют:

- источники напряжений;

- конденсаторы;

- резисторы.

В хордах, как правило, остаются:

- резисторы;

- индуктивности;

- источники токов.

Возьмем обобщенную матрицу главных сечений и выделим в ней столбцы и строки, принадлежащие конкретным элементам

Здесь R_x и R_p - резисторы, включенные соответственно в хорды и ребра.

Учитывая такое обозначение, можно матрицу разбить на подматрицы.

Индексы у подматриц указывают типы ветвей, которым принадлежат строки и столбцы подматрицы.

Сформулированное выше правило построения уравнений токов и напряжений с использованием матрицы можно распространить и на случай, когда эта матрица представлена подматрицами.

Подматрицы, расположенные вдоль строки и взятые с обратным знаком, являются коэффициентами, связывающими вектор тока группы ребер, которой принадлежит строка, с вектором тока соответствующих групп хорд. Например,

Подматрицы, расположенные вдоль столбца некоторой группы однотипных хорд, после транспонирования являются коэффициентами, линейно связывающими вектор напряжения этих хорд с векторами напряжения соответствующих групп ребер. Например,

3. Формирование матрицы главных сечений.

Формирование матрицы производится в два этапа. На первом этапе по введенным в ЭВМ данным цепи формируется матрица инциденций, а из нее – структурная матрица. На втором этапе путем преобразований из структурной матрицы строят матрицу .

1. Формирование структурной матрицы.

Рассмотрим построение структурной матрицы на примере графа цепи, представленного на рис. 2а. Составим матрицу следующего вида. Припишем столбцы матрицы определенным ветвям графа, а строки – его узлам. Дадим элементам a_lk этой матрицы следующие значения:

если k-я ветвь графа не подключена к l-му узлу;

если k-я ветвь подключена к l-му узлу и направление от него;

если k-я ветвь подключена к l-му узлу и направление к нему.

l – номера узлов

k – номера ветвей

При нумерации ветвей придерживаются следующей иерархии: управляемые источники напряжения, независимые источники напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные элементы, независимые источники тока, управляемые источники тока. Нумерация начинается с ветвей, принадлежащих высшей ступени иерархии. Исчерпав их продолжают нумерацию, перейдя к ветвям следующей ступени иерархии и т.д., пока не будут пронумерованы все ветви схемы. Именно так были пронумерованы ветви в графе на рис. 2а.

Для этого графа построим следующую матрицу:

Каждая l-я строка такой матрицы показывает, какие ветви подключены к l-му узлу и каково их направление относительно узла, а каждый k-й столбец указывает, с какими узлами соединена k-я ветвь.

Следует отметить, что одна из строк матрицы не является независимой, она не несет информации и может быть без последствий изъята из матрицы.

Вычеркнув в последнюю строку, получаем

Эту матрицу называют структурной и она дает топологическое описание цепи.

Так как строки матрицы указывают ветви, подключенные к соответствующим узлам, и их направление относительно узлов, то умножая строки матрицы на вектор токов ветвей , получаем алгебраическую сумму токов в узлах, равную нулю (в соответствии с ЗКТ). Следовательно

Эта матричная запись соответствует следующей системе уравнений