4.2.4. Планирование эксперимента.

Цель любого экспериментального исследования, включая имитацию, заключается в стремлении получить дополнительные знания об изучаемом объекте. В экспериментальном исследовании можно выделить два типа задач: определение сочетания параметров, которое оптимизирует выходные параметры и/или объяснение соотношения между выходными и входными параметрами. Для обоих типов задач разработано и доступно для использования множество планов постановки экспериментов [20,45].

С точки зрения полного использования имеющихся знаний об ис­сле­дуемом и имитируемом объекте наиболее подходящим способом является так называемое планирование эксперимента. В этом разделе матема­ти­чес­кой статистики рассматривается технология разработки планов проведения экспериментальных исследований, а точнее - планов подбора исходных данных с целью получения такого их соотношения, которое доставляет экстремум некоторой целевой функции.

Теоретические и прикладные разработки в области планирования эксперимента обеспечивают возможность получения планов экспериментов, которые обусловливают наиболее полное и эффективное, в том числе и в смысле числа экспериментов, извлечение информации при проведении опытов. В связи с достаточно высокой стоимостью машинного времени и трудностями в сборе и обработке информации об исследуемой системе сокращение объемов экспериментальной работы приносит положительные результаты.

Планирование эксперимента – относительно новый раздел математической статистики.

В дисперсионном анализе, который будет рассматриваться нами ниже, влияние факторов оценивается соотношениями дисперсий. Так, например, при исследовании влияния двух факторов количество опытов полного эксперимента составляет r·v, где r – число уровней первого фактора, v – число уровней второго фактора. (Уровень – количество возможных состояний фактора). При r=v=2 число опытов равно 4. Если число уровней каждого из факторов одинаково, то количество опытов, которые необходимо провести по схемам полного эксперимента (полным перебором всех сочетаний уровней) при исследовании влияния k факторов, можно вычислить по формуле N=V^k, где V – число уровней каждого из факторов. Например, при V=4 и k=10 получим N=1048576.

Вследствие непомерно большого числа опытов в подобных задачах использовать многие методы статистической обработки результатов стано­вится весьма затруднительно. Такого рода задачи явились одной из основ­ных причин возникновения теории планирования эксперимента, которая позволяет ответить на вопрос: сколько и какие опыты следует включить в эксперимент. Родоначальником этого направления является Р.А. Фишер.

Планирование эксперимента начинают с выбора объекта исследования, который изучается с определенной целью (ради отыскания оптимальных условий протекания физических, металлургических и других процессов). Цель исследования называют целевой функцией, параметром оптимизации или критерием оптимизации. Способы воздействия на объект исследования называют факторами.

Для того, чтобы прогнозировать значение целевой функции, необходимо параметр оптимизации связать с факторами некоторой функциональной зависимостью. Эта зависимость, имеющая вид Y=f(x₁,x₂,…,x_n), называютфункцией, поверхностью отклика илимоделью объекта исследования.

Компенсацией за меньшее количество опытов по сравнению с полным факторным экспериментом служат ограничения, принимаемые исследователем до опыта. В качестве ограничений принимают существование единственного оптимума и представление функции отклика в виде полинома заданного порядка, параметры которого оцениваются по опытным данным с помощью регрессионного анализа. Если же в действительности модель не удовлетворяет наложенным ограничениям, то оптимум функции отклика можно и не найти.

Рассмотрим теперь, как принятые допущения способствуют уменьшению количества опытов. Пусть, например, известно значение параметра оптимизации в нескольких соседних точках. В силу непрерывности функции отклика можно прогнозировать значения параметра оптимизации в окрестностях соседних точек. Следовательно, можно обнаружить точки, для которых ожидается увеличение (или уменьшение, если отыскивается минимум) параметра оптимизации. В силу единственности оптимума следующий эксперимент целесообразно поставить в точках, в которых обнаружено эффективное изменение параметра оптимизации, пренебрегая всеми остальными. В результате такого пошагового продвижения может быть достигнут оптимум параметра оптимизации.

Направление наибольшей скорости возрастания функции отклика называют направлением градиента. Если нет особых указаний о виде целевой функции, то в начале эксперимента всегда используют линейную модель, так как она определяется минимально возможным числом коэффициентов при данном числе факторов. Двигаясь по градиенту, строят линейные модели до тех пор, пока они дают эффективное изменение параметра оптимизации. Если улучшение параметра оптимизации с помощью линейной модели больше не наблюдается, то обнаружена область, близкая к оптимуму. В этом случае либо исследование прекращают, либо исследуют полиномы более высоких степеней.