Числа с логарифмически нормальным распределением генериру­ются преобразованием

,

где m и  - параметры логарифмически нормального распределе­ния.

Пример 4.9. Получить три гауссовских случайных числа, используя центральную предельную теорему.

Решение 4.9. Для получения одного гауссовского числа по формуле (4.6) необходимо 12 исходных чисел . Выберем их из таблицы случайных цифр (см. приложение 2) следующим образом: для ₁ будем суммировать 12 первых чисел, записанных в виде двухзначной десятичной дроби, из первой строки, для ₂ - из второй, для ₃ - из третьей строки. Тогда,

₁=(0,10+0,09+0,73+0,25+0,93+0,76+0,52+0,01+0,35+0,8б+0,34+0,67)-6,00=-0,39;

₂=(0,37+0,54+0,20+0,48+0,05+0,64+0,89+0,47+0,42+0,96+0,24+0,80)-6,00=-0,06;

₃=(0,08+0,42+0,26+0,89+0,53+0,19+0,64+0,50+0,93+0,03+0,23+0,20)-6,00=-0,10.

Итак, получены три гауссовски распределенных случайных чис­ла: ₁ = - 0,39; ₂ = - 0,06; ₃= - 0,10.

Отметим, что в некоторых сборниках таблиц по математической статистике приводятся таблицы нормально распределенных случайных чисел (приложение 3) с параметрами M[]=0 и []=1. Используя формулу (4.6) можно получить гауссовские случайные числа с иными параметрами и тогда следует (для приведения их к стандартному виду) произвести нормировку.

Метод Неймана. Он относится к приближенным мето­дам [12] и суть его состоит в следующем:

• пусть закон распределения вероятностей, который требуется ввести в последовательность случайных чисел, представлен плотностью f_(x), ограниченной на интервале [a,b] и для которой,

• для получения случайных чисел  с плотностью f_(x) генерируется пара исходных чисел , которая затем преобразуется в новую пару чисели;

• если , то, в противном случае необходимо вновь получить пару исходных чисел , преобразовать их по тем же формулам в , проверить условие и т.д.

Пример 4.10. Пусть требуется получить три случайных числа с законом распределения вероятностей

причем М=0,75.

Решение 4.10. Будем получать пары исходных чисел из таблицы случайных цифр, выбирая в качестве ₁ две цифры, записанные в виде десятичной дроби, из первого столбца, а для ₂ бу­дем аналогично выбирать цифры из второго столбца.

Тогда =0,10и=0,09. Преобразуем пару (,) в новую пару чисел

Вычисляем , сравниваем и . Так как (0,23175 > 0,0675), то число принимаем в качестве первого генерируемого случайного числа. Делаем аналогичные действия для вто­рого числа и числаи. Имеем

Так как (0,9178 > 0,405), то . Третья пара= 0,08 и =0,42. Для этой пары

Так как (0,1055 < 0,315), то пара отбрасывается и для нее выбирается новая пара исходных чисел =0,99 и=0,01, для которой

Так как (0,0706 > 0,0075), то .

Итак, методом Неймана получено три случайных числа ₁=0,1, ₂=0,37, ₃=0,99.

Метод кусочной аппроксимации. Его сущность состоит в замене генерируемого распределения вероятнос­тей серией простых дискретных распределений, для которых можно указать достаточно удобные и простые моделирующие процедуры [12].

Пусть требуется прогенерировать случайные числа с плотностью распределения f_(x). Предположим, что x[a,b] неограниченное распределение можно приближенно заменить ограниченным. Интервал [a,b] разбивается на n достаточно малых интервалов (a_m, a_m-1), m=0,1,…,n-1, a₀=a, a_n=b, так, чтобы заданное распределение в пределах этих интервалов можно было достаточно точно аппроксимировать каким-нибудь простым распре­делением, например, равномерным, трапецеидальным и т.д. В даль­нейшем рассмотрим кусочную аппроксимацию равномерным распреде­лением.

x

Рис. 4.7. Метод кусочной аппроксимации.

а₀ а₁ . . . а_n

0

f_X(x)

0

Пусть P_m - вероятность попадания случайного числа  в каждый из интервалов (a_m, a_m+1). Случайные числа  с кусочно-равномерным распределением (рис. 4.7) можно получить в соответствии со следующей схемой преобразования случайных чисел:

• случайным образом с вероятностью выбирается, интервал (a_m, a_m+1);

• формируется число равномерно распределенное в интервале (a_m, a_m+1), которое и будет :

=(a_m+1 - a_m) + a_m,

при этом  - случайное число, генерируемое источником первичной слу­чайности.

х₀ х₁ х₂ х_m x_m+1 x_n

Рис. 4.8. Случайный выбор интервала.

0 p₀ p₁ . . . p_m . . . 1

С лучайный выбор интервала (a_m, a_m+1) с вероятностью P_m означает по существу моделирование случайного числа, принимающего n значений a_m, m=0,1,…,n-1, с ве­роятностью P_m каждое, что делается следующим образом. Интервал [0,1] разбивается на n интервалов (x_m, x_m+1), m=0,1,…,n-1, x₀=0, x_n=1, длиной x_m+1 - x_m = P_m каж­дый (рис. 4.8).

Источником первичной случайности воспроизводится равномерно распределенное в [0, 1] число . Путем последовательного сравнения сx_m определяется интервал (x_m, x_m+1), то есть тот интервал, в котором оказывается , и, следовательно, соответствующий интервал (а_m, а_m+1).

В основу этого процесса положен очевидный факт - вероятность попадания равномерно распределенной в интервале [0,1] случайной величины в некоторый подынтервал (x_m, x_m+1) рав­на длине этого подынтервала.

Метод кусочной аппроксимации обладает, в отличие от мето­да Неймана, возможностями увеличения точности воспроизведения ве­роятностных свойств. Для этого необходимо увеличить число малых интервалов (a_m, a_m+1), то есть n, что приведет к снижению быстродействия метода.

Пример 4.11. Пусть требуется прогенерировать методом кусочной аппроксимации три случайных числа, если их закон распределения вероятностей задан таблицей 4.1 (разбиение на малые интервалы (a_m, a_m+1) произведено).

Таблица 4.1

(am, am+1)	(0,1)	(1,2)	(2,3)	(3,4)
	0,2	0,3	0,4	0,1

Решение 4.11. Сформируем единичный отрезок для организации выбора случайного интервала (a_m, a_m+1), m=0,1,2,3,4 (см. табл. 4.2)

Таблица 4.2

(am, am+1)	(0;1)	(1;2)	(2;3)	(3;4)
	0,2	0,3	0,4	0,1
(xm, xm+1)	(0,0; 0,2)	(0,2; 0,5)	(0,5; 0,9)	(0,9; 1,0)

Прогенерируем первое случайное число ₁. Для этого разыграем (из таблицы случайных цифр, приведенной в приложении 2, будем выбирать пары цифр из 17-го и 18-го столбцов таблицы и формировать из них десятичную двухзначную дробь) число =0,35. Сравнивая его с границами подын­тер­валов (x_m, x_m+1), выясняем, что попадает во второй подынтервал (x₁, x₂). Таким образом, реализация случайного числа ₁ будет формироваться для малого интервала разбиения (1; 2), m=1.

Вновь обращаемся к таблице случайных цифр и получаем ₁=0,42, которое преобразуется в первое генерируемое случайное число с тре­буе­мым законом распределения вероятностей

₁=(2-1)·0,42+1=1,42.

Генерируем второе число ξ₂. Для этого определяем =0,93 и выясняем, что оно попадает в четвертый подынтервал (x₃, x₄), то есть малый интервал разбиения (a_m, a_m+1) случайно выбран и это интервал (3;4). Получаем еще одно число η₂=0,07 и рассчитываем новое генерируемое число

ξ₂=(4-3)·0,07+3=3,07.

Поступая аналогично, получим (=0,61, подынтервал выбран (2;3), η₃=0,68)

ξ₃=(3-2) ·0,68+2=2,68.

Таким образом, используя метод кусочной аппроксимации, мы получили три случайных числа с требуемым законом распределения вероятностей ξ₁=1,42; ξ₂=3,07; ξ₃=2,68.

4.2.2.4. R-методы.

Методы генерирования произвольно распределенных случайных чисел с требуемыми динамическими свойствами носят название R -методов.

Произвольность распределения случайных чисел позволяет ис­пользовать в качестве исходных стандартные нормальные случайные числа. При этом выходные последовательности чисел, как правило, имеют нормальное распределение. Значение этого факта возрастает в связи со следующими обстоятельствами [12]:

• нормальные случайные процессы играют важную роль в приложениях и однозначно задаются матрицей корреляционных моментов;

• негауссовские случайные процессы часто появляются в резуль­тате некоторых известных преобразований гауссовских случайных процессов (так называемые квазинормальные случайные процессы) и их моделирование сводится к воспроизведению гауссовского случайного процесса с необходимыми вероятностно-статистическими свойст­вами и его преобразованию по известным алгоритмам;

• многомерные законы распределения вероятностей случайных процессов, не являющихся нормальными или квазинормальными, весьма трудно получить теоретически и экспериментально, в то время как корреляционные моменты определяются значительно проще.

Метод линейных преобразований. Он состоит в линейном преобразовании A исходных N чисел η с извест­ными вероятностными свойствами, после чего полученные величины ξ должны иметь наперед заданную корреляционную матрицу

║R_ξ║=║R_mn║, n,m=1,2,…,n

Пусть дано N независимых случайных чисел с нулевым матема­тическим ожиданием и единичной дисперсией η(1), η (2),…, η (N)

M[η ]=0, σ[η ]=1, M[η (n), η (m)]= δ_nm=

Известно, что произвольное линейное преобразование A N-мерного вектора η сводится к умножению его на некоторую матрицу N-го порядка ║ξ║=║A║∙║η║, где ║η║=║ η(n)║, n=1,2, …,N и ║ξ║=║ξ(n)║, n=1,2,…,N - матрицы-столбцы с элементами η(1),…,η(N) и ξ(1),…,ξ(N) соответственно и ║A║=║a_nm║, n=1,2,…,N, m=1,2,…,N - квадратная матрица преобразований.

Выберем матрицу A треугольной, тогда

ξ(1) = a₁₁∙ η(1),

ξ(2) = a₂₁∙ η(1) + a₂₂∙ η(2),

. . . (4.7)

ξ(N) = a_N1∙ η(1) + a_N1∙ η(2) + … + a_NN∙ η(N).

Элементы матрицы ║A║ найдем из условий независимости исходных чисел и нулевого математического ожидания

M[η (n), η (m)]= δ_nm=

M[ξ(n),ξ (m)]= R_nm.

Из условий

M[ξ(1)ξ (1)]= a²₁₁=R₁₁;

M[ξ(1)ξ (2)]= a₁₁∙a₂₁=R₁₂;

M[ξ(2)ξ (2)]= a²₂₁+ a²₂₂=R₂₂;

получим

a₁₁=; a₂₁=R₁₂ /; a₂₂=. (4.8)

Действуя аналогично, можно найти последовательно все элемен­ты матрицы ║A║.Тогда алгоритм выработки реализаций случайного процесса с заданной корреляцией сведется к умножению реализации исходного независимого процесса η(t) на матрицу преобразований ║A║. Процесс ξ(t) будет иметь нулевое математическое ожидание

Пример 4.12. Пусть требуется построить матрицу преобразо­ваний ║A║, позволяющую методом линейных преобразований прогенерировать три элемента реализации случайного процесса с корреляцией, определяемой матрицей

║R_ξ║ =

и математическим ожиданием M[ξ]=5.

Решение 4.12. В соответствии с условием задачи матрица преобразований ║A║ имеет размерность 5 x 5, а ее элементы связаны с требуемыми корреляционными моментами известными из описания ме­тода и вновь полученными в дополнение к (4.8) формулами

Следовательно, с учетом нового математического ожидания

Используя таблицу стандартных нормальных случайных чисел (приложение 3), выберем три числа, например, из четвертой строки: η(1)=1,002; η(2)=0,555; η(3)=0,046. (Напомним, что нор­мальные стандартные случайные числа независимы и имеют в совокуп­ности нулевое математическое ожидание и единичное среднеквадратическое отклонение, что удовлетворяет условиям применения метода линейных преобразований).

Тогда

К достоинствам данного метода отнесем его легкую машинную реализацию, а к недостаткам - существенные затраты машинной памяти (матрица занимает 0,5·N·(n+1) слов) и значительные объемы вы­числений.

Метод канонических разложений. Пусть непрерывный центрированный случайный процесс ξ(t) задан каноническим разложением

(4.9)

где V_k - некоррелированные случайные коэффициенты с параметрами M[V_k]=0 и σ[V_k]=σ_k; φ_k(t) - система некоторых детерминированных координатных функций.

Из условия некоррелированности коэффициентов V_k следует аналогичное каноническое разложение корреляционной функции слу­чайного процесса ξ(t):

Метод канонических разложений [12] осуществляется так: в процес­се формирования дискретных реализаций ξ(n) они вычисляются непосредственно по формуле (4.9). При этом в качестве V_k используется выбо­рочные значения некоррелированных случайных чисел с параметрами M[V_k]=0 и σ[V_k]=σ_k. Бесконечный ряд (4.9) при вычислениях приближенно заменяется усеченным конечным рядом.

Подготовительная работа состоит в выборе системы координат­ных функций φ_k(t) и в нахождении дисперсий σ², то есть в осу­ществлении непосредственно канонического разложения. Эти действия проводятся по рекуррентным формулам

(4.10)

Использование такого представления метода канонических раз­ложе­ний позволяет воспроизводить случайный процесс с корреляци­онной функцией, совпадающей с требуемой в заданных дискретных точ­ках t_k, k=1,2,…,N. В промежутках же между этими точками полу­чаемая корреляционная функция не совпадает с требуемой. Если диск­ретные точки выбрать так, что значения процесса в этих точках име­ют высокую корреляцию между собой, то совпадение корреляционных функций будет достаточно хорошим.

Пример 4.13. Используя метод канонических разложений, прогенерировать три элемента (N=3) реализации случайного процесса ξ(t) с корреляционной функцией

Решение 4.13. Используя рекуррентные формулы (4.10), полу­чаем

Используя случайные некоррелированные числа из предыдущего примера (η(1)=1,002; η(2)=0,555; η(3)=0,046) и получаемую из (4.9) формулу

(4.11)

имеем

Если моделируемый процесс является нормальным, то, положив распределение V_k также нормальным, можно воспроизводить дискрет­ные реализации нормальных случайных процессов, заданных на конечном интервале времени.

Достоинства и недостатки метода канонических разложений совпадают с методом линейных преобразований. Достаточно убедиться, что алгоритмы (4.7) и (4.11) в точности совпадают, то есть и т.д.

Метод скользящего суммирования. В отличие от ранее рассмотренных, данный R-метод позволяет воспро­изводить реализации случайного процесса неограниченной длины.

Пусть дана последовательность независимых случайных чисел η(t) с M[η]=0 и σ[η ]=1, при этом