4.2.2.2. Источники первичной случайности.

В качестве первичных случайных чисел, которые в дальнейшем подвергаются каким-либо преобразованиям, выбирают некоррелированные реализации _j случайной величины , обладающей рав­номерным в интервале [0,1] одномерным распределением вероятнос­тей. Реже в качестве первичных случайных чисел используются ре­ализации _i, случайной дискретной величины , которая с рав­ной вероятностью 1/10 принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 8, 9. В дальнейшем в этом параграфе _i будем называть случай­ным числом, а величину _i - случайной цифрой. Для установления связи между _i и _i, разложим число _i в бесконечную деся­тичную дробь:

_i = 0,₁,₂, …, _k, … (4.1)

Эта запись означает, что

_i =

В [40] доказана теорема о независимости случайных цифр в случай­ном числе, которая формулируется следующим образом.

Десятичные цифры ₁,₂, …,_k, … случайного числа _k представ­ляют собой независимые случайные цифры. Обратно, если ₁,₂, …, _k, … - независимые случайных цифры, то формула (4.1) дает случайное число.

В вычислительных процессах всегда используют числа с конеч­ным количеством десятичных знаков, поэтому вместо случайных чи­сел _i употребляют конечные десятичные дроби _i=0, ₁,₂, …, _k. Принято считать, что здесь имеют место ошибки округле­ния.

Предположим, что, используя некоторый механизм (игральную кость, рулетку и т.п.), мы осуществили ряд опытов, в результате ко­торых получили  случайных цифр, ₁,₂, …, _N. Записав эти цифры в таблицу, получим то, что называется таблицей случай­ных цифр (приложение 2). Это есть первый способ получения первичных случайных чисел.

Способ употребления такой таблицы прост. Если в ходе реше­ния некоторой задачи нам потребуется случайная цифра _j, то мы можем взять любую цифру _k из этой таблицы. Если нам потребуется случайное число _j, то мы можем по произвольному алгоритму вы­брать из таблицы n очередных цифр и считать, что

_i = 0, ₁, …, _n.

Еще раз отметим произвольность выбора алгоритма получения цифр из таблицы, не зависящего от конкретных значений этих цифр.

Пример 4.1. Используя таблицу (см. приложение 2) равномер­но распределенных случайных цифр, получить пять случайных цифр.

Решение 4.1.а. Выбираем наугад строку таблицы. Пусть это будет 5-я строка. Выписываем из нее 5 цифр: 1,2,8,0,7.

Решение 4.1.б. Выбираем наугад строку и колонку и, начиная с выбранной цифры, двигаемся по диагонали влево и вверх по таблице.

Пусть мы выбрали 9-ю строку и 10-ю колонку. Тогда получаем следующие цифры: 5, 0, 8, 4, 9.

Пример 4.2. Используя таблицу равномерно распределенных случайных цифр, получите четыре случайных трехзначных числа.

Решение 4.2.а. Выбираем наугад колонку и выписываем из нее, двигаясь вниз, 12 цифр. Пусть мы выберем, первую колонку и тогда получим цифры: 1,3,0,9,1,6,3,8,6,7,9,1. Сгруппируем их в четыре группы (заметим, что это можно сделать по-разному): 130, 916, 386, 791.

Решение 4.2.б. Воспользовавшись ходом шахматного коня и начиная с первой цифры таблиц, получим следующие четыре трехзна­чных числа: 180, 276, 299, 379.

Второй способ получения первичных случайных чисел заключается в использовании технических устройств - датчиков или генераторов случайных чисел. В качестве таких могут применяться механические (рулетка, кубик, и т.п.), электронные (резисторы, ди­оды, электронные лампы и т.п.), радиоактивные и другие типы устройств. На выбор конкретного типа устройства оказывают влия­ние ряд факторов: стабильность параметров генерируемых сигналов, взаимо­за­меняемость элементов, срок их службы, условия эксплуатации, простота источника преобразований сигнала и т.п. После оп­ределе­ния типа источника требуется сконструировать пре­образователь случайного сигнала, основное назначение кото­рого состоит в преобразовании полученного первичного случайного сигнала в форму, пригодную для использования в вычислительном устройстве. Приведем пример такого генератора (рис. 4.6) – [43]. Пусть мы имеем  генераторов стандартных импульсов ГИ-j, которые воспроизводят детерминированные по свойствам импульсы. В силу того, что каждый из генераторов не является идеальным устрой­ством, сигналы на их выходах_j будут иметь случайные от­клонения от идеального. Эти отклонения не превышают допустимых. Объединяя все сигна­лы _j элементом ИЛИ, будем получать выходной сигнал , который по своей сути (в силу неидеальности генераторов) будет пред­став­лять собой последовательность импульсов со случайными параметра­ми, например, амплитудой.

И, наконец, третьим способом получения первичных случайных чисел являются методы генерирования псевдослучайных чисел. При­годность случайных чисел определяется в конечном счете не процессом их получения, а тем, удовлетворяют ли они некоторым приня­тым тестам. Но в таком случае совершенно безразлично как эти чис­ла получены (они могут быть даже сосчитаны по какой-то формуле). Главное, чтобы они удовлетворяли тестам.

Числа ₁, ₂, …, _n, …, которые вычисляются по какой-либо формуле и могут быть использованы вместо случайных чисел при решении некоторых задач, называются псевдослучайными числа­ми.

Большинство алгоритмов, используемых на практике, представля­ют собой рекуррентные формулы следующего вида:

 _n+1=( _n), (4.2)

где ₀ - задано.

Часто в качестве функции выбирают следующую функцию _i+1=[_i], где [] - знак целой части числа, а- некоторый множитель(>>1).

Важной чертой алгоритмов вида (4.2) является то, что при ре­ализации на компьютере они всегда порождают периодические последователь­ности. В самом деле, так как в коде любого персонального компьютера можно записать лишь конечное количество чисел, заключенных между нулем и единицей (равномерное распределение в интервале [0,1]), то рано или позд­но какое-нибудь значение _j совпадает с одним из предыдущих значений _i.

Вместо формулы (4.2) можно попытаться использовать для получения пос­ледо­вательностей псевдослучайных чисел более сложные рекуррент­ные формулы

_n+1=(_n, _n+1, … , _n-r+1),

считая, что начальные значения ₀, ₁, …, _r-1 заданы. В [40] при­ведены алгоритмы, основанные на подобных формулах.

В качестве конкретных алгоритмов вида (4.2) можно назвать ме­тоды усечения, вычетов, перемешивания и т.д.

Метод усечения. В качестве рекуррентного процесса берется произвольное число ₀, состоящее из 2n двоичных цифр. Величина ₀ возводится в квадрат (состоящий уже из 4n цифр) и выбирает число ₁ из 2n средних двоичных цифр (от n+1-й до 2n -й). В дальнейшем процесс повторяется в той же последовательности.

Такой рекуррентный процесс не дает удовлетворительной (в смысле некоррелированности) последовательности случайных разря­дов, а распределение полученных этим способом псевдослучайных чисел отклоняется от равномерного.

Пример 4.3. Пусть ₀=1011. Построить последовательность из трех псевдослучайных чисел методом усечения.

Решение 4.3. =(1011)=01111001. Отсюда₁=1110, =(1110)=11000100. Отсюда =0001, =(0001)=00000001. Отсюда ₃=0000. Имеем последова­тель­ность: 1110, 0001, 0000.

Приведенный пример демонстрирует один из существенных мо­ментов в использовании методов генерирования псевдослучайных чисел: неудачный выбор начальных констант может привести к вырождению последовательности чисел, то есть получению после­дователь­нос­ти нулей.

Способ произведений. Значительно лучшие ре­зультаты дает следующее видоизменение метода усечений: выбирает­ся произвольная пара чисел ₀ и ₁; составляется их произведение и его средние цифры используются в качестве ₂.

Данный рекуррентный процесс дает меньшее отклонение псевдо­случайных чисел от равномерного распределения, чем метод усечения в первоначальном виде.

Пример 4.4. Пусть ₀=24 и ₁=31. Построить пос­ледовательность из трех псевдослучайных чисел методом произве­дений.

Решение 4.4. ₀₁=0744. ₂=74. ₁₂=2294. Тогда ₃=29. ₂₃=2146. Отсюда ₄=14. Таким образом, по­лучена последовательность: 74, 29, 14.

4.2.2.3. P-методы.

Методы генерирования некоррелированных случайных чисел с требуемым одномерным законом распределения вероятностей носят название Р-методов.

В зависимости от точности воспроизведения последовательности случайных чисел одномерного закона распределения вероятностей Р-методы можно разделить на точные и приближенные.

К числу точных Р-методов относятся метод обратных функций (метод Н.В.Смирнова) и специальные методы, к приближен­ным - метод Неймана и метод кусочной аппроксимации (метод Н.П. Бусленко) [12].

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:

 - случайное некоррелированное число, равномерно рас­пределенное в интервале [0,1] ;

 - случайное число с одномерным законом распределе­ния вероятностей, который требуется получить;

 - случайное число с гауссовским (нормальным) зако­ном распределения вероятностей.

Метод обратных функций.Суть метода состоит в подборе некоторого преобразования ис­ходных случайных чисел, трансформирующего равномерное в интервале [0,1]распределение в требуемое F(x) ,гдеF(x) - функ­ция распределения. Выбор преобразования осуществляется в соответ­ствии со следующим предложением [12] .

Если удовлетворяет уравнению

, (4.3)

где  - величина, распределенная равномерно на [0,1], то  рас­пределено по закону F(x).

Выражение (4.3) можно, очевидно, переписать и через плотность распределения вероятностей

, (4.4)

Ясно, что преобразование Н.В. Смирнова можно применить и для дискретных распределений, соответственно представив уравнение (4.3).

Пример 4.5. Пусть требуется найти преобразование для ге­нерирования случайных чисел, распределенных по равномерному в ин­тервале [a,b] закону распределения вероятностей.

Решение 4.5. Плотность равномерного в интервале распределения имеет вид:

xa,b.

В соответствии с формулой (4.4) имеем

Отсюда

(4.5)

Пример 4.6. Найти преобразование для генерирования случайных чисел экспоненциальным распределением

.

Решение 4.6. В соответствие с формулой (4.4) имеем

Отсюда, после логарифмирования левой и правой части равенства , получаемили, с учетом того, что и (1-) распределены равномерно в интервале [0,1] , можно записать

.

Пример 4.7. Построить процедуру получения биномиально распределенных случайных чисел.

Решение 4.7. Известно [44], что биномиально распределенная случайная величина  есть число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в каждом из испытаний p и вероятностью неудачи q=1-p.

Тогда алгоритм генерирования биномиально распределенных чисел  c параметрами n и р имеет следующий вид:

• устанавливается начальное значение биномиальной величины =0;

• генерируется источником первичной случайности равномерно распределенное на интервале [0,1] случайное число  (разыг­рывается испытание Бернулли);

• проверяется условие <p (произошло ли событие в испы­тании Бернулли?), если событие не произошло (<р), то осу­ществляется переход к шагу 5;

• если событие в испытании Бернулли произошло (р), то биномиальная величина увеличивается на единицу;

• шаги 2,3,4 повторяются n раз.

Пример 4.8. Получить три случайных числа с распределением Бернулли, если вероятность успеха в каждом испытании p = 0,4.

Решение 4.8. В соответствии с физическим механизмом, описывающим испытания Бернулли, имеем следующий алгоритм генери­рования:

• устанавливается начальное значение бернуллиевского случайного числа  = 0;

• генерируется источником первичной случайности равномерно распределенное на интервале [0,1] случайное число ;

• проверяется условие <0,4 (произошло ли событие в схеме Бернулли?), если событие произошло (≥0,4), то =1. В про­тивном случав (<0,4) число не изменяется, то есть = 0.

На выходе процедуры получено случайное число , имеющее распределение Бернулли с вероятностью успеха р .

Для получения трех случайных чисел необходимо (в соответст­вии с алгоритмом) три исходных числа . Получим их из таблицы случайных цифр (см. приложение 2). Ограничимся при этом двумя знаками после запятой (заметим, что это ограничение зависит от точности задания параметров генерируемого распределения). Возьмем три первых пары цифр из первой строки таблицы и запишем их в виде десятичной дроби:

₁=0,10; ₂=0,09; ₃=0,73.

Используя описанный выше алгоритм (р=0,4):

1) ₁= 0;

2) ₁ 0,4 (0,1 < 0,4). Следовательно, ₁=0;

3) ₂=0;

4) ₂ 0,4 (0,09 < 0,4). Следовательно, ₂=0;

5) ₃=0;

6) ₃>0,4 (0,73 > 0,04). Следовательно, ₃=1.

Итак, получены три случайных числа 0,0,1, имеющих распреде­ление Бернулли с вероятностью успеха (появления события) р=0,4.

В соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей можно получить нормально распределенные случайные числа

причем точность аппроксимации растет с ростом k. Для многих прак­тических целей достаточно взять k=12, так что

Гауссовские случайные числа могут быть получены и как функ­ции от двух и большего количества чисел с другими, негауссовскими распределениями вероятностей, например, произведение двух чи­сел ₁ и ₂, имеющих одно распределение арксинуса, а другое - распределение Рэлея, имеет гауссовское распределение. Для генерирования чисел с распределениями арксинуса и Рэлея может ис­пользоваться метод обратных функций

,

Тогда

(4.6)

т.е. необходимо два исходных числа ₁ и ₂, подвергнуть этому преобразованию.

Гауссовски распределенные числа являются основой для генерирования чисел с рядом распределений (в силу существующей взаимо­связи между гауссовским и некоторыми другими распределениями). Так, например, числа с распределением Рэлея могут быть получены из пары гауссовских чисел