4.2.5. Обработка результатов.

Одним из не менее важных этапов в моделировании является обработка результатов. Исследователь, получив далее первые, начальные результаты экспериментов, зачастую либо начинает улучшать, модернизировать модель, либо стремится продемонстрировать неискушенному заказчику свои достижения. В том и в другом случае происходит элементарная потеря информации. И для того, чтобы трансформировать модель, и для получения более весомых, значимых результатов следует проводить глубокий и тщательный анализ.

В настоящее время разработаны и широко используются разнообразные программные средства, обеспечивающие не только статистическую обработку результатов моделирования и их визуализации. Освоить и применить их на практике не составляет особого труда. Но есть и специальные математически формализованные методики и методы, обеспечивающие решение этой актуальной задачи.

Один из таких статистических методов – дисперсионный анализ – мы рассмотрим ниже [20,45].

Дисперсионный анализ – это статистический метод обработки результатов наблюдений, зависящих от различных, одновременно действующих факторов, выбор наиболее важных факторов и оценки их влияния. Идея дисперсионного анализа принадлежит Р.А. Фишеру. Суть анализа заключается в разложении общей вариации случайной величины на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия.

Факторами обычно называют внешние условия, влияющие на эксперимент. Это, например, температура и атмосферное давление, сила тяготения, тип оборудования и тому подобное. Нас интересуют факторы, действие которых значительно и поддается проверке. В условиях эксперимента факторы могут варьироваться, благодаря чему можно исследовать влияние контролируемого фактора на эксперимент. В этом случае говорят, что фактор варьирует на разных уровнях или имеет несколько уровней. В зависимости от количества факторов, включенных в анализ, различают классификацию по одному признаку – однофакторный анализ, по двум уровням – двухфакторный анализ и многостороннюю классификацию – многофакторный анализ.

Для проведения дисперсионного анализа необходимо соблюдать следующие условия: результаты наблюдений должны быть независимыми случайными величинами, имеющими нормальное распределение и одинаковую дисперсию. Только в этом случае можно оценить значимость полученных оценок дисперсий и математических ожиданий и построить доверительные интервалы.

4.2.5.1. Однофакторный анализ.

На практике возможен случай, когда на автоматической линии несколько станков параллельно выполняют некоторую операцию. Для правильного плани­рования последующей обработки важно знать, насколько однотипны средние размеры деталей, получаемые на параллельно работающих станках. Здесь имеет место лишь один фактор, влияющий на размер деталей, - станки, на которых они изготавливаются. Исследователя интересует насколько существенно влия­ние этого фактора на размеры деталей?

Предположим, что совокупность параметров деталей, изготовленных на каждом станке, имеют нормальное распределение и равные дисперсии. Имеем mстанков, следовательно,mсовокупностей или уровней, на которых произведеноn₁,n₂, … ,n_mнаблюдений. Для простоты предположим, чтоn₁ =n₂ =…=n_m. Размеры деталей наi-м уровне обозначим х_i1,x_i2, …,x_in. Тогда все наблюдения можно представить в виде так называемойматрицы наблюдений (таблица 4.16).

Будем считать, что для i-го уровняnнаблюдений имеют среднююβ_i, равную сумме общей среднейμи вариации ее, обусловленнойi-м уровнем фактора, то есть

β_i = μ + γ_i.

Уровни	Параллельные опыты
	1	2	…	n
1	y11	y12	…	y1n
2	y21	y22	…	y2n
…	…	…	…	…
m	ym1	ym2	…	ymn

Тогда одно наблюдение можно Таблица 4.16.

представить в следующем ви­де:

x_ij=μ+γ_i+ξ_ij=β_i+ξ_ij, (4.38)

где μ- общая средняя;

γ_i- эффект, обусловленныйi-м уровня фактора;

ξ_ij ­- вариация результатов внутри отдельного уровня.

Член ξ_ijхарактеризует влияние всех неучтенных моделью (4.38) факторов. Согласно общей задаче дисперсионного анализа, необходимо оценить существенность влияния фактораγна размеры деталей. Общую вариацию переменнойx_ijможно разложить на части, одна из которых характеризует влияние фактораγ, другая – влияние неучтенных факторов. Для этого необходимо найти оценку общей средней μ и оценки средних по уровнямβ_i. Очевидно, что оценкой β является средняя арифметическаяnнаблюденийi-го уровня, то есть

(4.39)

(* - наблюдения фиксированы на i-м уровне).

Оценка средней μ (средняя арифметическая всей совокупности наблю­де­ний) есть

или

Найдем сумму квадратов отклонений x_ijот, то есть

(4.40)

причем

так как последнее слагаемое есть сумма отклонений переменных одной совокупности от средней арифметической этой же совокупности, то есть S=0.

Также

Тогда формулу (4.40) можно представить в виде

(4.41)

Q₁– сумма квадратов разностей между средними уровней и средней всей совокупности наблюдений. Эта сумма называетсясуммой квадратов отклонений между группами и характеризует расхождение между уровнями. ВеличинуQ₁называют такжерассеиванием па факторам, то есть рассеиванием за счет исследуемого фактора. СлагаемоеQ₂является суммой квадратов разностей между отдельными наблюдениями и среднейi-го уровня. Эта сумма называетсясуммой квадратов отклонений внутри группы и характеризует расхождение между наблюдениямиi-го уровня. ВеличинуQ₂называют такжеостаточным рассеиванием, то есть рассеиванием за счет неучтенных факторов. Наконец,Q–общая или полная сумма квадратов отклонений отдельных наблюдений от общей средней .

Зная Q,Q₁иQ₂можно оценить:

• межгрупповую дисперсию

• внутригрупповую дисперсию

• общую дисперсию

Если влияние всех уровней фактора γ одинаково, то и- оценки общей дисперсии. Тогда для оценки существенности влияния фактора γ достаточно проверить гипотезу Н₀:=; для этого вычисляют статистикуcν₁=m-1 и ν₂=m(n-1) степенями свободы. Затем находят критическое значениеи если, то нулевая гипотеза принимается и делается вывод о не существенности влияния фактора γ.

Сравнивая межгрупповую и остаточную дисперсии, по величине их отно­ше­ния судят, насколько сильно проявляется влияние факторов.

Таблица 4.17.

№ партии	Разрывная нагрузка
1	200	140	170	145	165
2	190	150	210	150	150
3	230	190	200	190	200
4	150	170	150	170	180

Пример 4.26. Пусть имеется четыре партии сырья текстильной промыш­лен­ности. Из каждой партии отобрано по пять образцов и проведены испытания на определение величины разрывной нагрузки. Результаты испытаний приведены в таблице 4.17. Требуется выяснить, существенно ли влияние различных партий сырья на величину разрывной нагрузки.

Решение 4.26. Здесьm=4 иn=5. Среднюю арифметическую каждой строки вычисляем по формуле (4.39):

Среднее арифметическое всех совокупностей:

Находим

Q_м= 4980 иν₁ = 4 – 1 = 3,

Q_в= 7270 иν₂=20 – 4 = 16,

Q= 12250 иν= 20 – 1 = 19.

Проверка: Q=Q₁+Q₂; 12250 = 4980 + 7270.

По найденным значениям Q,Q₁иQ₂ можно найти дисперсии:

• межгрупповую дисперсию

• внутригрупповую дисперсию

• общую дисперсию

Вычисляем статистику

Из таблиц F-распределения можно найти при α=0,01 критическое значение= 9,01. Так както можно утверждать, что нулевая гипотеза не отверга­ется, а это означает, что различие между сырьем в партиях не влияет на величину разрывной нагрузки.

Следует осторожно подходить к истолкованию окончательных результатов, так как они предполагают нормальную плотность и тождественность дисперсий. Каждое из допущений требует проверки, основанной на тщательном анализе проведенных экспериментов.