Дискретно стохастические модели (р-схемы)

Или Р-схемы описываются с помощью вероятностных автоматах (probabilisticautomat).

В общем, виде вероятностный автомат можно определить преобразователь с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть записана статическими.

Введем понятие Р-автомата.

G– множество пар(х_i, Z_S),гдех_i - элементы входного множествах;

Z_S– элементы подмножествS;

Y– выходное подмножество;

В– подмножество вероятности переходов в состояниеZ_Kи появления на выходеy_j, если автомат был в состоянииZ_Sи на вход поступил сигналx_i.

.

Тогда схема Р, описывающая все перечисленные подмножества, называется вероятностным автоматом.

Как и в случае F-схемы существуют Р автоматы Мили и Мура.

Частотным случаем Р-автомата являются автоматы, у которых переход либо в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминированием.

В первом случае автомат носит название Z-детерминированный вероятностным автоматом, во втором случаеY-детерминированный Р-автомат.

Для оценки различных характеристик исследуемых систем представляемых в виде Р-схем используются как аналитические модели, основанные на теории Марковских цепей, так и имитационные модели это метод статического моделирования.

Непрерывно стохастические модели (q-схемы)

Особенностями непрерывно стохастических моделей рассмотрим на примере систем массового обслуживания, которые представляют собой класс математических схем, разработанных теорией управления массовыми процессами.

Основные состояния. В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т.е. имеет место стохастический процесс функционирования систем.

В любом элементарном процессе обслуживания можно выделить две особенных составляющих: ожидание обслуживания и само обслуживание.

Это можно изобразить в виде некоторого i-того прибора обслуживания.

.

Прибор обслуживания Р_iсостоит из накопителя заявокN_i, в котором может одновременно находитьсязаявок.

L_i – емкостьi-того накопителя и канала обслуживания заявокK_i.

На каждый элемент прибора поступают потоки событий, в накопитель поток заявок ω_i, на канал поток обслуживанияU_i.

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени.

Поток событий называется однородным, ели он характеризуется только моментами времени поступления данных событий, которые называются вызывающими моментами. Такой поток задается последовательностью t_n.

,

где t_n – момент наступленияn-ного события, причемt_n­не отрицательное вещественное число.

Однородный поток может быть также задан в виде последовательности промежутков времени между n-ным и(n-1)событием. Такая последовательность обозначаетсяτ_n,которая одназначна с последовательностью вызывающих моментовt_n.

Поток неоднородных событий называется последовательность , гдеt_n– вызывающие моменты,f_n – набор признаков события.

Применительно к элементарному каналу K_i,можно считать:

1. Поток заявок ω_i принадлежит множеству заявокW,т.е. интервалы между моментами появления заявок образует подмножество неуправляемых переменных.

2. Поток обслуживания u_iпринадлежит множествуU, т.е. интервал времени между началом и окончанием обслуживания заявок образует подмножество управляющих переменных.

3. Заявки, обслуживание каналом и заявок, покинувших прибор по различным причинам образует выходной поток , т.е. интервал времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

4. Процесс функционирования приборо обслуживания P_iможно представить, как процесс изменения его состояния во времени.

Время, за которое происходит изменение состояния объекта, обозначим через Z_i.

Переход в новое состояние для прибора означает изменение количества заявок, которые в нем находятся в канале и накопителе. Таким образом, вектор состояния для прибора P_i будет иметь вид:

,

где - состояние накопителя (- наполнитель пуст,- накопитель полностью заполнен),

- состояние канала (- канал пуст,- заполнен).

В практиках моделирования систем, имеющих более сложные структуры связи и алгоритм поведения, используют Q-схемы, образуемые композицией многих элементарных приборов обслуживания. Если каналы К различных приборов соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальнаяQ-схема).

Если приборы соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание, многофазная Q-схемы.

Таким образом, для создания Q-схемы необходимо оператор сопряженияR, отражающего взаимосвязь элементов структуры каналов и накопителей между собой.

Связи между элементами Q-схемы обозначаются стрелкой.

Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы.

Теории массового обслуживания в зависимости от емкости накопителя существует система с потерями, когда , т.е. накопитель отсутствует, присутствует только канал обслуживания.

И системы с ожиданием, когда , накопитель имеет бесконечную емкость и очередь заявок не ограничивается.

Также существует системы смешанные с ограниченной емкостью накопителя.

Математическая Q-схема описывается следующими векторами переменных:

,

где А– оператор алгоритма поведения заявок.

Оператор А зависит от набора правил, по которым заявки покидают накопитель и канал, для накопителя это правило переполнения, по которым заявки покидают систему, либо правила ухода, связанные с течением времени ожидания заявки. Для канала, это правило выбора маршрута или направления ухода.