Компонентные и топологические уравнения в гидравлической системе

В ГС фазовыми переменными являются расходы Q, а типопотенциальн. - давлениеP.

При выводе компонентных уравнений используются у-я Эйлера, Новье-Стокса, Гука.

Эти уравнения записываются в частных производных, поэтому для перехода на макроуровень делается замена отношениями конечных разностей.

Уравнение Эйлера для трубопровода постоянного сечения.

(14)

Где υ- скорость потока жидкости в трубопроводе

Ρ- плотность жидкости

Х- геометрическая координата.

Разделим трубопровод на ряд участков длиной lи заменим частную производнуюотношеним конечной разности(15)

р₁и р₂ давление на границах выделенных участков трубопровода.

«-» указывает на то, что отрицателен.

Q=υS(16)

S- площадь поперечного сечения.

Подставим из (15) иυиз (16) в(17)

m_p- к-т масса

V–объем жидкости выделяемого трубопровода

m_ж- Мааса жидкости на этом участке

Т.о. у-е Эйлера приводится к виду

(18)

Рассмотрим линеаризованное уравнение Новье-Стокса

-к-т линеаризованности вязкого трения.

Учитывая (15) и (16) получаем:

Введем обозначения (20)

(21)

-к-т гидравлического сопротивления

У-е Новье-Стокса приводится к виду (22) .

Уравнение Гука.

(23)

Выразим скорость потока через расход.(23)

Заменим отношением конечных разностей(24)

Qу –изменение расхода, обусловленное сжимаемой жидкости.

На основе (23) с учетом (24) найдем у-е для определения давления упругости пологая Е, не зависит от t.

Введем обозначение (25)

Сг-к-т гидравлич. жидкости.

Е-модуль объемной упругости жидкости

В результате получаем компонентное уранение упругого элемента динамической системы.

(26)

Фазовые переменные Ру, Рч, Рgпредставляют собой внутренние потенциалы исследуемой гидравлической системы, определяющей номера источника на преодоление сил инерции жидкости и сообщение ей кинетической энергии на деформацию жидкости и изменение ее потенциальной энергии, а также на продоление сил внутреннего трения жидкости.

mг,Сг,-являются параметрами инерционных, упругих и дисспотивных элементов гидравлической системы.

.......

Непрерывно детерминированные модели (d-схемы)

Используя этот подход в качестве математической модели, применяют дифференциальные уравнения.

Если в дифференциальных уравнениях не известны функции многих переменных, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. В противном случае, при рассмотрении функции только одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Математическое состояние для детерминированных систем будет выглядеть:

,

,

где

,

,

- вектор функция, которая определена на некотором(n+1)-мерном множестве и является непрерывной, т.к. математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, то они называютсяD-схемами.

Наиболее важно для системотехники приложение D-схем, в качестве математического аппарата в ТАУ.

Примеры d-схемы: маятник и контур

Для иллюстрации рассмотрим две элементарные системы различной физической природы.

а) Механическая – колебание маятника.

Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида:

,

где - масса маятника;

- длина подвеса маятника;

- ускорение свободного падения;

- угол отклонения маятника в момент времениt.

Из этого уравнения могут быть получены различные характеристики, например, период колебания маятника:

.

б) электрический контур.

Аналогичны процессы в электрическом контуре, описывается дифференциальное уравнение вида:

,

.

где и- индуктивность, и емкость конденсаторов,

- заряд конденсатора в момент времениt.

Из этого уравнения также могут быть найдены различные характеристики, например, .

Очевидно, что, введя обозначения: ,,,,, получим дифференциальное уравнение второго порядка:

,

где - параметры системы;

- состояние системы в момент времени t.

Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели, причем поведение одной системы может быть проанализировано с помощью другой и наоборот.

Если изучаемая система маятника или контур взаимодействует с внешней средой, то появляется входное воздействие x(t)(внешняя сила для маятника и источник энергии для контура). Тогда непрерывно детерминированная модель будет иметь вид: