Функция Грина

Если в краевой задаче (17)-(20) начальные условия нулевые, а граничные условия однородные, т.е.

и функции в уравнении (17) представляется как

(22)

где и- функции, зависящие оти, сосредоточенных в точках:

То уравнение (21) можно записать в следующим образом:

(23)

Т.е. функции Грина - является решением краевой задачи, при описанных выше условиях, и, следовательно, описывает реакцию распределенной системы с нулевыми начальными и однородными граничными условиями в любой точкеи любой момент временина точечное импульсное воздействие видафункции, приложенной к произвольной, но фиксированной точкив момент времени.

Поэтому функцию Грина называют фундаментальным решением уравнения (17) функцией точечного источника, функцией влияния, импульсной переходной функцией.

Аргументы и- входные аргументы,и- выходные аргументы.

В частных случаях функция Грина может быть найдена в явном виде, путем непосредственного решения краевой задачи.

В общем случае, при невозможности определения аналитического решения, используются численные методы.

Стандартные формы и стандартизирующие функции

В теореме СРП можно подобрать такую функцию вместов уравнении (1), которое компенсирует эффекты влияния на входную величину не нулевых начальных и неоднородных граничных условий, обеспечивая равенство решенияисходной системы (1)-(3) и следующей краевой задачи (24).

(24)

с нулевыми начальными граничными условиями.

Тем самым система уравнений (24) эквивалентна исходной модели (1)-(3), но при этом собирает правую часть уравнения (1) в входные воздействия, существенно упрощает описание СРП.

Система (24) называется стандартной формой записи уравнения (1)-(3), а функция - стандартизирующая функция.

,,

В соответствии с (21) решение этой задачи принимает вид:

(25)

Выражение (25) – это интегральная форма описания СРП.

Передаточная функция объектов с распределенными параметрами

Применение преобразование Лапласа по временному аргументу к вход выходным соотношением (25) для линейных стационарных блоков, позволяет распространять на СРП понятие передаточной функции:

(26)

Замечание:

Здесь переменная выступает в роли постоянного параметра.

- изображение выхода объекта, функции Гринаи стандартной функции.

- комплексная переменная преобразования Лапласа.

Т.е.

(27)

где - пространственная композиция.

Будим называть изображение функций Грина:

(28)

Выражение (28) – это передаточная функция объекта РП.

Здесь кроме в передаточную функцию входят пространственные переменныеивхода и выход распределенного объекта.

Распределенный блок с передаточной функцией, не зависящей от переменнойназывается статическим блоком, т.е.

Применив обратное преобразование Лапласа, получим функцию Грина такого блока.

А реакция на его выходе согласно (25)

(29)

То есть, по сути, является без инерционным звеном.