Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

(8)

Уравнение (8) – однородное уравнение теплопроводности, описывает температурные поля не стационарной теплопроводности, тепло массы перевода и т.д.

(9)

Уравнение (9) – неоднородное уравнение теплопроводности, учитывающее внешнее воздействие от внутренних источников вещества и энергии.

Включив в правой части уравнений (8) и (9) дополнительный член , получим уравнение теплопроводности в цилиндрической системе пространственных координат.

Уравнения эклектического типа

В уравнениях этого типа отсутствует производная от по времениtи описывают стохастическое состояние ОРП.

1) Гельмгольца

(10)

2) Пуассона

(11)

при в уравнении (10)

3) Лапласа (эллиптического типа)

При

(12)

Уравнения (11) и (12) моделируют в распространении температуры потенциала скоростей при стационарном течении несжимаемой жидкости потенциал электрического поля в задачах электрической статики и т.д. при отсутствии или наличии внешних воздействий соответственно.

Уравнение (10) описывает многие физические процессы теплопроводности, диффузии в движущихся средах, напряженности поля и т.д.

Замечание:

В общем случае описание функции не сводится к перечисленным уравнениям так как:

- оператор Lможет быть нелинейным;

- уравнения могут быть многополярными (в двух или трех мерных пространственных координатах);

- порядок уравнения может быть больше второго;

- поведение СРП может моделироваться не одним, а системой уравнений в частных производных, т.е. описываться векторным уравнением.

Общая характеристика условия однозначности Начальные условия

Начальная функция в уравнении (2) должна задавать начальные (при) распределения во всей замкнутой областисамой функции состоянияипроизводных по времениt, где- порядок старшей производной в уравнении (1).

(13)

где

в уравнении (2).

Для гиперболических уравнений (5) – (7) должны быть заданы равное:

Для параболических уравнений (8) – (9):

Для электрических уравнений (10) – (12) начальные условия отсутствуют так как там нет производных по времени.

Граничные условия

При исследовании процессов в неограниченном пространстве (простейший случай) граничные условия отсутствуют.

При ограниченном объеме области линейный оператор Г в уравнении (3) может иметь один из следующих видов:

1) Граничные условия первого рода (первая краевая задача) – Дирихле.

(14)

То есть должна быть задана сама функция состояния на границе .

2) Граничные условия второго порядка (вторая краевая задача) – Нейман.

(15)

Задается граничная функция состояния на границе пространственной области.

3) Граничные условия третьего рода (третья краевая задача, смешанная задача).

(16)

где и- заданные функции на границе, принимающие в частности постоянные значения.

Рассмотрим СРП, функция соотношение, которого описывается уравнением (4).

После приведенные к конечной форме записи (не содержащие смешанных производных), это уравнение имеет вид:

(17)

Это уравнение имеет вид (17) с типовыми начальными условиями, которые преобразуют в рассматриваемом одномерном случае, вид:

(18)

,(19)

,(20)

где - входные воздействия, которые в общем случае могут включать внутреннее управление,и, реализуемые за счет внутренних источников энергии или вещества.