Основные понятия МСУ

Моделирование– это изучение реальной системы (оригинала), путем замещения его новым объектом его моделью, имеющего с ней определенное объектное соответствие и позволяющее прогнозировать ее функциональные особенности, т.е. при моделировании экспериментируют не самим объектом, а объектом, который называют заменителем.

Модель- физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющей адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характер объектов.

Процесс моделирования включает несколько этапов:

1. Постановка задачи и определение свойств реального объекта, подлежащего исследованию.

2. Констатация затруднительности или невозможности исследования реального объекта.

3. Выбор модели, хорошо функционирующие основные свойства объекта с одной стороны и легко поддающиеся исследованию с другой. Модель должна отражать основные свойства объекта и не должна быть громоздкой.

4. Исследование модели в соответствии с поставленной целью.

5. Проверка адекватности объекта и модели. Если нет соответствия, то необходимо повторить первые четыре пункта.

Классификация видов моделирования

1. По способу построения модели.

а) Теоретические (аналитические) – строятся по данным о внутренней структуре на основе соотношений, вытекающих из физических данных.

б) Формальные – по зависимости между выходом и входом в систему. Строится на основе принципа черного ящика.

в) Комбинированные.

2. По изменению переменных во времени.

а) Статические.

б) Динамические.

Статическая модель описывает состояние объекта и не содержит производных хиу(входных и выходных) сигналов по времени.

Пример: Математическая модель статического измерения концентрации у_iв изометрических реакторах.

а) Уравнение идеального смешения.

,,,

где ,

,- начальная концентрация,

V– реакционный объем,

G– объемная скорость,

φ_i– стеклометрические отношения,

W– скорость простой реакции.

б) Уравнение идеального вытеснения.

,,,

V₁– линейная скорость смеси,

- длина.

Математическая модель а) описывает статику объема сосредоточенными переменными у₁, у₂ …у_n.

Математическая модель б) описывает статику объема с распределенными по длине координатами.

Динамическая модель описывает переходные процессы во времени и содержит производные у_i dt.

Динамическая модель, в зависимости от способа получения, представляется в виде дифференциального уравнения переходной импульсной или частотной характеристики в виде передаточной функции.

Динамика объектов с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а объекты с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частотных производных.

Пример: Изменение концентрации у_iв изотермическом реакторе периодического действия.

ССП (система с сосредоточенными параметрами)

,.

Уравнение динамики трубчатого изотермического реактора.

СРП (система с распределенными параметрами)

,

Классификация видов моделирования по зависимости переменных пространственных координат и принцип построения

1. По зависимости переменных модулей от пространственных координат.

а) С распределенными параметрами.

б) С сосредоточенными параметрами.

2. По принципу построения.

а) Стохастические.

б) Детерминированные.

Если хиу(вход и выход) постоянные или известные величины (детерминированные), то модель называется стохастическая.

Если хиуслучайные (вероятные) величины, то модель называется стохастической.

Стохастические модели содержат вероятные элементы и представляют собой систему зависимости, полученную в результате статического исследования действующего объекта.

Детерминированная – это система функциональных зависимостей, построенная с использованием теоретического подхода.

Детерминированные модели имеют ряд преимуществ. Их можно разрабатывать даже при отсутствии действующего объекта, как это часто бывает при проектировании. Они качественно, более правильно характеризуют процессы, протекающие в объекте даже при наличии недостаточно точных в количественном отношении параметров модели.

Если информация об объекте моделирования не обладает достаточно высокой полнотой или из-за его значительной сложности, невозможно описать в виде модели все входные воздействия, а влияние ненаблюдаемых переменных на выходные координаты существенны, то применяют статическую модель.

Математические схемы моделирования Основные подходы к построению математической модели системы

Исходная информация при построении математической модели, процесса функционирования систем служат данные о назначении и условии работы исследуемой системы. Эта информация определяет основную цель моделирования систем Sи позволяет сформулировать требования и разрабатываемой математической моделиМ.

Математическая схема – это звено, при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования процесса, с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка: описательная модель → математическая схема → математическая модель.

Каждая система Sхарактеризуется набором свойств, отражающих поведение системы и условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой ε.

Полнота модели регулируется в основном выбором границы системой Sи внешней средой Е.

Задачу упрощения модели помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные.

Введем следующее обозначение:

1) Совокупность входных воздействий на систему

.

2) Совокупность воздействий внешней среды

.

3) Совокупность внутренних или собственных параметров системы

.

4) Совокупность выходных характеристик системы

.

Особенности СРП

Первый этап в развитии ТАУ был связан управлением систем, состояние которых характеризуется поведением во времени tнекоторого набора конечного числаn-функций одной переменнойt.

.

Подобные системы описываются дифференциальными уравнениями (одним или несколькими) относительно Q(t)и называется системой с сосредоточенными параметрами (ССП).

Модели большого числа ОУ могут быть с достаточной для практических целей точности отнесены к классу ССП. Но на практике любой технический ОУ имеет вполне определенные геометрические размеры, поэтому функция, характеризующая его состояние изменяется в пределах пространственной области, занимаемой объектом, а, следовательно, зависит от вектора хв пространственных координатах являясь функциейQ(x,t)по меньшей мере, двух координат.

Системы, состояния которых описывается функциями нескольких алгоритмов, зависящих как от времени, так и от пространственных координат, получили название СРП.

Состояние СРП описывается дифференциальным уравнением в частных производных (содержащие производные функции состояния, как во времени, так и по пространственным координатам), интегральными уравнениями, а также гибкими системами уравнений различной природы математические модели СРП качественно отличаются от ССП.

Базовые уравнения объектов СРП

Функция состояния Q(x,t)объекта с распределенными параметрами (вход объекта), определенная по пространственной переменной(замкнутой областиD), удовлетворяют уравнению:

(1)

где - открытая часть областиD, не содержащая границы.

L– некоторый заданный оператор (линейная функцияQ, в частных производныхQ(x,t)различных порядков, интегральный оператор отQ(x,t)и/илиx, t).

Конкретный вид Lопределяется содержанием описываемого процесса.

f(x,t)– известная функция, характеризующая внешнее воздействие на процесс (вход ОРП).

Если , то уравнение (1)однородное, соответственно, если, то уравнение (1) – неоднородное.

Замечание 1:

Далее будим считать, что ОРП описывается единственным уравнением (1) для одной функции .

Для единственного решения необходимо его дополнить начальными условиями, которые описываются некоторым линейным оператором N.

(2)

При заданных начальных условиях , описывающих распределение вD, состояние ОРП в начальный момент времени. Если, то начальное условие (2) называется нулевым. Если, то начальное условие (2) называется не нулевым.

Условие (2) необходимо, но недостаточно для выделения единственного решения, что является важной принципиальной особенностью РСП по сравнению с ССП.

Полная система соотношений должна содержать граничные условия, для , которые характеризуют взаимодействиес внешней средой, должны выполняться дляна границеобласти.

(3)

где Г – линейный оператор,

- внешнее воздействие, которое можно рассматривать как второй вход объекта наряду.

Если , то граничные условия однородные. Если, то граничные условия неоднородны.

Уравнения (1)-(3) с заданными линейными дифференциальными операторами L,N, Г, составляющие краевую задачу, являются базовой моделью для математического описания широкого класса ОРП.

Для простейшего случая пространственной распределённости по одной координате х, изменяющейся на отрезке (одномерная задача), уравнение (1) записывается в виде:

(4)

где А, В, С – заданные функции могут быть равны CONST

В зависимости от значения, дискриминанты Δ, равные (АВВ²), различают уравнения:

- гиперболического типа (Δ<0),

- параболического типа (Δ=0),

- эллиптического типа (Δ>0),

- смешанного типа (Δ меняет знак в области допустимых изменений xиt).

Уравнения гиперболического типа

Уравнения содержат две производные функции состояния, как по t, так и поx, они описывают колебательные процессы различной природы (механические, электромагнитные, звуковые и т.д.), связанные с конечной скоростьюV, распространения волновых явлений.

1)

(5)

Уравнение (5) моделирует распространение свободных колебаний (при распространении со скоростью звука пульсации расхода газа в длинном трубопроводе).

При , уравнение (5) записывается в виде:

- описывает вынужденные

колебания под влиянием внешнего воздействия .

2) Уравнение гиперболического типа:

(7)

Описывает распределение напряжения тока вдоль длинной электрической линии.

- скорость распределения электромагнитных волн вдоль линии.

При уравнение (7) сводится к волновому уравнению, прииуравнение (7) моделирует процессы механических колебаний в среде сопротивления.

Уравнение параболического типа

Они содержат первую производную и вторую производную по координатеt.

Описывает задачи, связанные с процессами теплопроводности, диффузии с распространением электромагнитных волн, с движением вязкой жидкости и т.д.