Лекция № 11 (Продолжение Темы 8. Теория систем с распределенными параметрами)

Начальные условия

Начальная функция в уравнении (2) должна задавать начальные (при) распределение во все замкнутые областисамой функции состоянияиее производных по времени, где- порядок старшей производнойв уравнении (1). Т.е. мы должны иметь значения следующих функций:

в уравнение (2)

Для гиперболических уравнений:

сама функция и ее первая производная – начальные условия.

Для параболических уравнений:

задается только сама функция в начальный момент времени.

Для эллиптических уравнений:

Начальные условия отсутствует, т.к. не зависят от .

Граничные условия

При ограниченном объема области линейный операторв уравнении (3) может иметь один из следующих видов:

• Первая краевая задача (задача Дирихле)

• Вторая краевая задача (задача Неймана) (граничное условие второго рода)

- Нормаль к точке.

Т.е. задается градиент функции состояния на границе пространственной области.

• Третья краевая задача (смешанная задача) (граничное условие третьего рода)

- заданная функция на границе области, в частности, постоянное значение.

Методы упрощения математических моделей. Типовые распределенные блоки

Переходной Х-блок

Представляет собой распределенный блок с сосредоточенным входным и распределенным выходным сигналом. Это наиболее распространенный на практике вариант, для которого , где- фиксированный закон пространственного распределения на практике входного сигнала.

- изменяющаяся во времени составляющая входного сигнала.

Переходной -блок

Представляет собой распределенный блок сосредоточенными выходным и распределенный входным сигналом. В данном случае входное распределенное воздействие описывается стандартизирующей функцией , а сосредоточенный выход – значение функции состоянияв однойилификсированных точках.

(перебирает значения от 1 до).

Переходной -блок

Распределенный блок с сосредоточенными входами и выходами. Моделирует поведение функции состояния объекта в фиксированных точкахпри сосредоточенном управлении.

Блок пространственного воздействия при фиксированных изменениях входного сигнала во времени

Не имеет аналогов в сосредоточенных системах. Для них стандартизирующая функция представляется в виде

;

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое начальные условия?

2. Что такое граничные условия?

3. Перечислите и охарактеризуйте типовые распределенные блоки.

Лекция № 12

Тема9.Моделирование на макроуровне. Примеры систем.

Цель: изучить основы моделирования систем на макроуровне, рассмотреть компонентные и топологические уравнения различных систем.

Задачи:

- рассмотреть принципы построения ММ на макроуровне;

- изучить компонентные и топологические уравнения механической, тепловой, электрической и гидравлической системы;

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

- принципы построения ММ на макроуровне;

- компонентные и топологические уравнения для систем различного типа.

уметь:

- составлять компонентные уравнения для систем различного типа;

- составлять топологические уравнения для систем различного типа;

иметь представление:

- о методе сеток;

- о методе функционально законченных элементов;

- о методе сосредоточенных масс

Учебная информация:

При построение ММ макроуровня почти всегда необходима разработка динамической модели, которая представляет собой систему дифференциальных уравнений, описывающих совокупность дискретных элементов. Для выделения дискретных элементов из сплошной среды используют различные методы:

1. Метод сеток. Разделяют на метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они обычно используются на микроуровне, поэтому при переходе к макроуровню используются аппроксимация моделей микроуровня.

2. Метод функционально законченных элементов. Основан на выделении типовых элементов технического объекта (ТО), завершенных в конструктивных исполнении и предназначенных для выполнения определенных функций. Например, в гидромеханической системе – насос, дроссель, гидромагистраль и т.д. Имея библиотеку ММ элементов и зная структуру ТО составляется полная ММ.

3. Метод сосредоточенных масс. При данном методе выделяют некоторые абстрактная материальная субстанции, наделенная определенными физическими свойствами. Такие субстанции:

• Сосредоточенные массы, эквивалентные массам соответствующих частей ТО;

• Элементы, лишенные массы, отображающей характер взаимодействия сосредоточенных масс.

Сосредоточенные массы обладают инерционными свойствами и способностью накапливать кинетическую энергию. Их называют инерционными элементами. Взаимодействие сосредоточенных масс осуществляется с помощью упругих, диссипативных, фрикционных и трансформаторных элементов. Упругие элементы отображают упругие свойства динамической системы, обладают способностью накапливать потенциальную энергию.

Диссипативные элементы отображают свойство диссипации (рассеивания) энергии конструктивными элементами ТО, обусловленные силами внутреннего трения.

Фрикционные элементы отображают физические свойства фрикционных механизмов ТО.

Трансформаторные элементы отображают безинерционные преобразование параметров потоков энергии трансформаторами.

Состояние сосредоточенных масс характеризуются фазовыми координатами типа потока, взаимодействия элементов отображаются фазовыми переменными (координатами) типа потенциала.

ФПТ потока (фазовая переменная типа потока)

ФПТ потенциала (фазовая переменная типа потенциала)

Компонентные и топологические уравнения

В методе сосредоточенных масс каждый элемент рассматривается простым, т.е. наделенным одним физическим свойством. Состояние простого элемента характеризуется одной ФПТ потока и одной ФПТ потенциала. ММ, выражающая зависимость между этими переменными, - компонентное уравнение.

Компонентное уравнении, полученное на основе физических законов, в общем случае имеет вид.

• Инерционный элемент (1)

• Диссипативный элемент (2)

• Упругий элемент (3)

1. условие равновесия, записываемое для ФПТ потенциала.

(4)

2. условие непрерывности для ФПТ потока.

(5)

Если фазовые переменные – векторные величины, то направления векторов учитывается только в топологических уравнениях.

Полная ММ макроуровня представляет собой систему ОДУ, искомые функции – фазовая координаты I и U, независимая переменная – время t. Размерность ММ определяется порядком системы ДУ, которую обычно представляют в нормальной форме Коми, где все уравнения размерены относительно .

Вопросы для самопроверки:

1. Для чего используются компонентные и топологические уравнения?

2. Что из себя представляют компонентные и топологические уравнения?

3. В чем отличие компонентных уравнений от топологических?