Лекция №9 (Продолжение Темы 7 «Моделирование на микроуровне. Примеры моделей»)

Модели механических систем на микроуровне

Модели механических систем на микроуровне решают задачи анализа в напряженно-деформированном состоянии отдельных элементов. Значение напряжений и деформации позволяют оценить прочность, долговечность, виброустойчивость конструктивных элементов и осуществит поиск их оптимальных размеров и конфигурации. Современные методы анализа напряженно – деформированного состояния базируются на исполнении модели с распределенными параметрами, в основе которых лежит теория упругости. Динамические модели различных элементов сводятся к стержневым, пластинчатым, оболочечным или объемным системам, находящимся под действием производных механических нагрузок (сосредоточенных, распределенных, детерминированных, случайных и т.д.). математической моделью анализа напряженно – деформированного состояния элемента механической системы является основное уравнение теории упругости уравнение Ламе. Это уравнение выводится из условия динамического равновесия твердого тела под действием приложенных к нему сил, включая силы инерции.

Выделим в твердом теле элементарный параллепипед и сформулируем условие его равновесия: « геометрическая сумма сил приложена к выделенному элементарному параллепипеду, включая его силе инерции = 0, при этом учитываются распределенные нагрузки на грани параллепипеда и массовые силы. Распределенные нагрузки представляются нормальными напряжениями и касательными. Учитывая закономерности касательных напряжений, согласно которому, получаем уравнение равновесия проекций на осиx₁, x₂, x₃:

где i=1, 2, 3; - плотность материала твердого тела;- перемещение элементов вдоль осиx_i; - напряжения, действующее в направлении осиx_i в гране элемента перпендикулярной оси x_i; - проекция вектора массовых сил по осьx_i; g- вектор ускорения свободного падения.

Напряжение связана с деформациями, а последние – с перемещениями.

В случае линейной зависимости между ними в устанавливаемой законом Гука, имеем

где -деформация, вычисляемая по формуле:

где и- постоянные Лаше, характеризующие упругие свойства среды.

E- Модуль упругости; - коэффициент Пуассона.

Заменяя напряжение на деформацию в уравнениях равновесия получаем основное уравнение теории упругости, называемое уравнением Ламе:

где - вектор перемещений.

Вопросы для самопроверки:

1. Основные характеристики ММ механической системы.

2. Как учитывается распределение нагрузки при построении ММ?

Лекция №10

Тема 8. Теория систем с распределенными параметрами

Цель: изучение теории систем с распределенными параметрами (СРП).

Задачи:

- изучить объекты моделирования на микроуровне;

- рассмотреть базовое уравнение объектов СРП;

- изучить основные типы уравнений.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

- основные понятия СРП;

- базовое уравнение СРП;

- типы уравнений для моделирования процессов различной природы

уметь:

- использовать основные типы уравнений для моделирования процессов различной природы;

иметь представление:

- о граничных условиях;

- о начальных условиях;

- о функции состояния

Учебная информация:

Модели на микроуровне описываются дифференциальными уравнениями с частными производными, а объекты моделирования представляют собой систему с распределенными параметрами (СРП), состояние которых описывается функциями нескольких аргументов, зависящих как от времени, так и от пространственных координат.

Базовое уравнение объектов с распределенными параметрами

(1)

(область без учета границ).

где - открытая часть области, не содержащая границ;

Для получения единственного решения уравнение (1) надо дополнить начальными условиями, которые описываются некоторым линейным оператором следующего вида.

(2)

Полная система соотношений должна содержать граничные условия для , которые характеризуютс внешней средой длядля границ области, которые описываются зависимостью вида.

(3)

Уравнения (1) - (3) с заданными линейными операторами составляющие краевую задачу, -базовая модель для математического описания объекта СРП.

Уравнения гиперболического типа

Содержат вторые производные, как по времени , так и по координате. Описывают колебательные процессы различной природы (механические, электромагнитные звуковые и т.д.) связанные с конечной скоростьюраспределения волновых явлений.

Например, для

(4)

Уравнение (4) – волновое уравнение, моделирует процессы распространения свободных колебаний.

(5)

(5) описывает распределение напряжения и тока вдоль длинной электрической линии.

Уравнение параболического типа

Содержат первую производную и вторую производную по. Описывают задачи, связанные с процессами теплопроводности, диффузии, движения вязкой жидкости и т.д.

(6)

(6)- уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

Описывает температурные поля процессов теплопроводности, тепломассопереноса, электромагнитного поля и т.д. также это уравнение может быть неоднородным учитывающее внешнее воздействие от внутренних источников вещества и энергии.

Уравнение эллиптического типа

Отсутствует производная по времени . Описывают статическое состояние объекта СРП.

(7)

(8)

(9)

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое система с распределенными параметрами?

2. что является входом объекта СРП?

3. Что является выходом объекта СРП?

4. Какие процессы описывают уравнения гиперболического типа?

5. Какие процессы описывают уравнения параболического типа?

6. Какие процессы описывают уравнения эллиптического типа?