Лекция № 8 (Продолжение Темы 7 «Моделирование на микроуровне. Примеры моделей»)

Модели тепловых систем на микроуровне

Процесс переноса тепловой энергии (теплоты) в пространстве с неоднородным поле температуры называется теплообмен.

Уравнение теплопроводности может быть получено на основе закон сохранения энергии, которая применительно к тепловой системе можно сформулировать: изменение во времени количество тепловой энергии в элементарном объеме равно сумме притока-стока энергии через его поверхность с учетом выделения энергии в том же объеме, в единице времени внутренними источниками (или поглощение энергии стоками).

(12)

Величина характеризует мощность внутренних источников теплоты или стоков. Изменение количество тепловой энергии в единицу объемаdQ пропорционально измерение dT.

, (13)

(14)

- коэффициент теплопроводности материала ;

С учетом (13) и (14) приводится к виду:

(15)

Модели гидравлических систем

В технических системах широкое применение находят гидравлические и пневматические приводы. При большой длине магистралей в них возникают волновые процессы, исследования которых осуществляют с исполнением ДУЧП.

Основные физические свойства жидкости и газа: текучесть, сжимаемость и непрерывность потоков. Текучесть оценивается вязкостью, сжимаемость – модулем объема упругости. Жидкости обычно имеют сравнительно большую вязкость и слабую сжимаемость, а газа наоборот. Тем не менее, математическое описание физических свойств жидкости и газа на микроуровне выполняется на основе одних и тех законов. Движение жидкости в трубопроводе обычно рассматривают, как одномерный сплошной поток. Для описания его движения вдоль координаты x используют закон сохранения массы которой выражает свойства непрерывного потока жидкости трубопроводе и записывается в виде:

(16)

Уравнение Навье – Стокса в одномерном случае выражающее закон сохранения количество движения элементарной массы имеет вид:

(17)

При анализе движения жидкости в трубопроводе обычно массовыми силами пренебрегают.

(18)

Находит также применение приближенная форма уравнения Навье – Стокса.

, (19)

- коэффициент линеаризованного вязкого трения в трубопроводе.

Иногда по исследовании пренебрегают вязкостью жидкости. Принимая =0, выражение получаем уравнение Эйлера для одномерного потока в трубопроводе постоянного сечения.

(20)

Уравнение Эйлера учитывает лишь инерционное свойство потока, а уравнение Навье – Стокса – инерционное и диссипативные свойства (рассеивание энергии).

Сведем единую систему:

(21)

Чтобы сделать систему определенной, необходимо в нее добавить уравнения связи между иp. Будем полагать, что поток жидкости изолирован от притока тепла извне (адиабатический процесс). Для газа в рассматриваемом случае плотность можно выразить через давления на основании уравнения состояния:

(22)

Следует также учитывать зависимость динамической вязкости от температуры, обычно исследуют степенную зависимость вида:

(23)

При проектировании гидропривода часто принимают линейную аппроксимацию зависимости изменения давления от относительного изменения объема жидкости при ее стадии. Эта зависимость устанавливается законом Гука и в одномерном случае имеет вид:

(24)

E – Модуль объемной упругости жидкости.

Учитывая слабую сжимаемость рабочей жидкости, полагают и для анализа полей скоростей используют следующую систему ДУ:

(25)

Вопросы для самопроверки:

1. Описать ММ тепловой системы на микроуровне.

2. Описать ММ гидравлической системы.

3. Какими свойствами обладают гидравлические системы?