3. Дискретно-стохастические (д-с) модели (р-схемы)

Д-с модели рассматриваются на основе вероятностных автоматов. Вероятностный автомат – это дискретный потактовый преобразователь информации с памятью, функционирование кот. обусловлено лишь состоянием памяти и может быть описано статистически. Пусть задано некоторые множество G пар вида (x_i, z_к), где x_i – элементы входного множества, z_к – элементы множества состояний системы. Пусть задано некоторые множество F вида (z_к, y_j), где y_j – элементы множества G индуцируют на множестве F некоторые закон распределения:

Элементы из F (z₁, y₁),(z₁, y₂),...(z₁, y_J),... (z_к, y_J-1), (z_к, y_J) (1)

,

где b_кj – вероятность перехода автомата в состояние z_к и появления на его выходе сигнала y_J, если он был в состоянии z_s и на его вход поступил сигнал x_i. Если выходной сигнал Р_авт определяется детерминированно, то такой автомат называется Y-детерминированным автоматом.

Если выбор нового состояния явл. детерминированным, то такой автомат называется z-детерминированным.

Если множество таблиц типа (1) обозначить через В, то вероятностный автомат можно описать в виде четырех множеств

< X, Y, Z, B >.

Способы задания вероятностных автоматов.

1. С помощью таблиц

В столбцы записываются состояния автомата

Таблица переходов:

Zк	Zк
	z1	z2	...	zK
z1	p11	p12	...	p1к
z2	р21	р22	...	p2к
|	|	|	...	|
zK	рк1	рк2	...	рКК

Таблица выходов

Z	z1	z2	z3	...	zк
Y	y1i	y2i	y3i	...	yкi

Таблицу переходов можно представить в виде матрицы

Для задания Y-детерминированного Р-автомата также необходимо задать начальное распределение вероятностей вида

Z, z₁, z₂ ... z_к ;

D, d₁, d₂ ... d_к ,

где d_к – вероятность того, что в начальный момент работы автомат находился в состоянии z_к, Σd_к=1. Если внести начальное распределение вероятности в матрицу р, то получим:

2. С помощью графов.

Вершинам графа сопоставляются различные состояния, а дугам – возможные переходы. Каждой дуге соответствует некоторые вес, определяемый вероятностью перехода, над вершинами пишутся выходные величины.

Пример.

Пусть задан Y-детерминированный автомат, матрица переходов и таблица выходов.

Необходимо оценить суммарную вероятность пребывания автомата в состоянии z₂ и z₃.

Исключаем первую строку и первый столбец, т.к. начальное распределение не оказывает влияние на финальные вероятности. Запишем уравнение, определяющее финальные вероятности пребывания р-автомата в состоянииz_к.

С₁ = С₄

С₂ = 0,75 C₂ + 0,4 C₃

C₃ = C₁

C₄ = 0,25 C₂ + 0,6 C₃

К полученным уравнениям добавляется условие нормировки: С₁+С₂+С₃+С₄=1

Решая систему найдем С₁=5/23, C₂=8/23, C₃=5/23, C₄=5/23

C₂+C₃=13/23=0,5652 – суммарная вероятность.

4. Непрерывно-стохастические (н-с) модели (q-схемы).

Рассматривать н-с модели будем на примере систем массового обслуживания. Систему массового обслуживания можно представить в виде некоторые прибора П_i , состоящего из канала обслуживания К_i и накопителя Н_i. В накопитель поступают заявки, а на канал поступает поток обслуживания Wi и Ui

U_i

W_i

y_i

Потоком события называются некоторая последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные момент времени. Различают однородные и неоднородные потоки событий.

Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления событий, т.е. некоторые последовательностью

{t_n} = {0 ≤ t1 ≤ t2 ... ≤tn},

{τ_n} = {τ₁,... τ_n}.

Поток события называется неоднородным, если он характеризуется последовательностью {t_n,f_n}, где t_n – вызывающие моменты, f_n – признаки.

Если интервалы между событиями τ₁, τ₂,... независимы между собой, то такой поток называется потоком с ограниченным последействием.

Поток событий называется ординарным, если на интервале времени Δt, прилежащим к моменту времени t вероятность появления более одного события Р_>1(t, Δt) пренебрежима мала по сравнению с вероятностью появления одного события:

Р₁(t, Δt) >>P_>1(t, Δt).

Стационарным потоком называется поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени t зависит лишь от длины этого интервала и не зависит от места на оси 0, t, на котором расположен этот интервал.

Рассмотрим на оси 0, t некоторый интервал времени t, если существует предел lim P₁(t, t) / t =(t), то этот предел называется интенсивностью (плотностью) ординарного потока. Для стационарного потока не зависит от времени и есть величина постоянная (t)==сonst. Считается, что поток заявок, т. е. интервалы времени между моментами поступления заявок образуют подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания, т. е. интервалы между окончанием обслуживания заявки образуют поток управляемых переменных. Заявки, обслуженные каналом и покинувшие прибор по каким-либо причинам образуют поток выходных переменных y_jY. Состояние системы в любой момент времени t описывается состоянием z_i(t) и множеством состояний Z z(t)=Z. Функционирование прибора P_i можно представить как смену его внутреннего состояния. Переход в новое состояние для прибора t_i означает изменение количества заявок в канале обслуживания. Т. о. вектор состояния zⁱ=(z^н_i, z^k_i) z^н_i=0 (в накопителе нет заявок) z^н_i=1 (1 заявка) z^н_i=L^н_i емкость накопителя. Состояние канала z^к_i=0 z^кi=1.

При моделировании больших сложных систем используются не отдельные приборы обслуживания, а Q-схемы образованные многими элементарными приборами обслуживания. Если каналы к_i различных приборов обслуживания соединены параллельно, то такая Q-схема называется многофазной. Для задания Q-схемы необходимо использовать оператор сопряжения R, указывающий какие каналы и каким образом соединены друг с другом. В зависимости от наличия ОС различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. Собственными внутренними параметрами Q-схемы будут являться: количество фаз, количество каналов в каждой фазе, количество накопителей в каждой фазе, емкость i-го накопителя.

Если емкость L^н_i = 0 – система с потерями, если L^н_i →  - система с ожиданием, если 0< L^н_i< - система смешанного типа. Всю совокупность внутренних параметров обозначим через Н. Для задания Q-схемы необходимо определить алгоритм функционирования системы. Заявки, приходящие в систему, являются неоднородными и процесс их обслуживания определяется с помощью введения приоритетов. Приоритеты, назначаемые заранее и независящие от состояния Q-схемы называются статическими. Приоритеты возникающие при моделировании исходя из конкретной ситуации называются динамическими. Приоритеты называются относительными, если заявка поступившая в накопитель и имеющая более высокий приоритет, чем остальные, ожидает окончание выполнения заявки находящейся в канале. Приоритет называется абсолютным, если заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель, прерывает обслуживание каналом заявки с более низким приоритетом, а сама занимает канал. В этом случае вытесненная заявка либо покидает систему, либо вновь встает в очередь. При задании алгоритма функционирования также необходимо задать правило, при котором заявки остаются в канале или не допускаются до обслуживания, т. е. правило блокировок. Весь набор алгоритмов обозначен буквой А. Q-схема описывающая процесс функционирования системы массового обслуживания может быть представлена набором множеств. Q=W, U, H, J, A.