Функция Грина

Если в краевой задаче (17)-(20) начальные условия нулевые, а граничные условия однородные, т.е.

и функции в уравнении (17) представляется как

(22)

где и - функции, зависящие от и , сосредоточенных в точках:

То уравнение (21) можно записать в следующим образом:

(23)

Т.е. функции Грина - является решением краевой задачи, при описанных выше условиях, и, следовательно, описывает реакцию распределенной системы с нулевыми начальными и однородными граничными условиями в любой точке и любой момент времени на точечное импульсное воздействие вида функции, приложенной к произвольной, но фиксированной точки в момент времени .

Поэтому функцию Грина называют фундаментальным решением уравнения (17) функцией точечного источника, функцией влияния, импульсной переходной функцией.

Аргументы и - входные аргументы, и - выходные аргументы.

В частных случаях функция Грина может быть найдена в явном виде, путем непосредственного решения краевой задачи.

В общем случае, при невозможности определения аналитического решения, используются численные методы.

Стандартные формы и стандартизирующие функции

В теореме СРП можно подобрать такую функцию вместо в уравнении (1), которое компенсирует эффекты влияния на входную величину не нулевых начальных и неоднородных граничных условий, обеспечивая равенство решения исходной системы (1)-(3) и следующей краевой задачи (24).

(24)

с нулевыми начальными граничными условиями.

Тем самым система уравнений (24) эквивалентна исходной модели (1)-(3), но при этом собирает правую часть уравнения (1) в входные воздействия, существенно упрощает описание СРП.

Система (24) называется стандартной формой записи уравнения (1)-(3), а функция - стандартизирующая функция.

Лекция № 10

, ,

В соответствии с (21) решение этой задачи принимает вид:

(25)

Выражение (25) – это интегральная форма описания СРП.

Передаточная функция объектов с распределенными параметрами

Применение преобразование Лапласа по временному аргументу к вход выходным соотношением (25) для линейных стационарных блоков, позволяет распространять на СРП понятие передаточной функции:

(26)

Замечание:

Здесь переменная выступает в роли постоянного параметра.

- изображение выхода объекта , функции Грина и стандартной функции .

- комплексная переменная преобразования Лапласа.

Т.е.

(27)

где - пространственная композиция.

Будим называть изображение функций Грина:

(28)

Выражение (28) – это передаточная функция объекта РП.

Здесь кроме в передаточную функцию входят пространственные переменные и входа и выход распределенного объекта.

Распределенный блок с передаточной функцией, не зависящей от переменной называется статическим блоком, т.е.

Применив обратное преобразование Лапласа, получим функцию Грина такого блока.

А реакция на его выходе согласно (25)

(29)

То есть, по сути, является без инерционным звеном.

Соединения распределенных блоков

Параллельное соединение распределения блоков

Пусть нам известны передаточные функции и двух распределенных блоков ((27)и (28)), выходные сигналы которых и определены на пространственных областях и при параллельном соединении этих блоков с общим входом , их выходные сигналы складываются в каждой точке - пространственной области , на которой определена соответствующая сумма , рассматривающая в качестве выхода этого соединения и следовательно:

Если , то и , откуда

(30)

где и

То есть передаточная функция параллельного блока:

где

(31)

Данный вывод распространяется на любое число параллельных блоков.

Лекция № 11