Граничные условия
При исследовании процессов в неограниченном пространстве (простейший случай) граничные условия отсутствуют.
При ограниченном
объеме области
линейный оператор Г в уравнении (3) может
иметь один из следующих видов:
1) Граничные условия первого рода (первая краевая задача) – Дирихле.
(14)
То есть должна
быть задана сама функция состояния на
границе
.
2) Граничные условия второго порядка (вторая краевая задача) – Нейман.
(15)
Задается граничная функция состояния на границе пространственной области.
3) Граничные условия третьего рода (третья краевая задача, смешанная задача).
(16)
где
и
- заданные функции на границе
,
принимающие в частности постоянные
значения.
В общих случаях возможно следующее:
1. На различных
участках границы
могут задаваться граничные условия
различного типа.
2. Для объектов с уравнением первого порядка всегда рассматривается первая краевая задача.
3. Граничные условия
значительно упрощаются для области
правильной формы.
Лекция № 9
Импульсные переходные функции и основные соотношения вход-выход
Рассмотрим СРП, функция соотношение, которого описывается уравнением (4).
После приведенные к конечной форме записи (не содержащие смешанных производных), это уравнение имеет вид:
(17)
Это уравнение имеет вид (17) с типовыми начальными условиями, которые преобразуют в рассматриваемом одномерном случае, вид:
(18)
,
(19)
,
(20)
где
- входные воздействия, которые в общем
случае могут включать внутреннее
управление
,
и
,
реализуемые за счет внутренних источников
энергии или вещества.
Пример:
Индукционный нагрев металлических изделий, в процессе которого внутренние источники тепла возбуждают электромагнитным полем индуктора на основе эффекта ветровых токов.
Основное соотношение, связывающее выход объекта при заданном начальном состоянии с выходными воздействиями, определяется общим решением, представленном в следующей интегральной форме:
(21)
где
и
- переменные интегральные по пространственной
координате и времени соответственно.
Первый и второй
интегралы по пространственной координате
определяется соответствующей общему
решению, соответствующего влияния
,
начальных распределений
и
.
Четвертый и пятый
интегралы по времени учитывают
сосредоточение входные воздействия
и
(19)-(20) по граничным условиям.
Третий двойной
интеграл по пространственно временной
области изменения пространственно
и временного
аргумента распределенного входного
воздействия
и отражает его вклад в реакцию объекта.
- ядра линейных
интегральных операторов.
В частности
в третьем интеграле есть функция Грина.