Уравнения гиперболического типа

Уравнения содержат две производные функции состояния, как по t, так и по x, они описывают колебательные процессы различной природы (механические, электромагнитные, звуковые и т.д.), связанные с конечной скоростью V, распространения волновых явлений.

1)

(5)

Уравнение (5) моделирует распространение свободных колебаний (при распространении со скоростью звука пульсации расхода газа в длинном трубопроводе).

При , уравнение (5) записывается в виде:

- описывает вынужденные

колебания под влиянием

внешнего воздействия .

Лекция № 8

2) Уравнение гиперболического типа:

(7)

Описывает распределение напряжения тока вдоль длинной электрической линии.

- скорость распределения электромагнитных волн вдоль линии.

При уравнение (7) сводится к волновому уравнению, при и уравнение (7) моделирует процессы механических колебаний в среде сопротивления.

Уравнение параболического типа

Они содержат первую производную и вторую производную по координате t.

Описывает задачи, связанные с процессами теплопроводности, диффузии с распространением электромагнитных волн, с движением вязкой жидкости и т.д.

Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

(8)

Уравнение (8) – однородное уравнение теплопроводности, описывает температурные поля не стационарной теплопроводности, тепло массы перевода и т.д.

(9)

Уравнение (9) – неоднородное уравнение теплопроводности, учитывающее внешнее воздействие от внутренних источников вещества и энергии.

Включив в правой части уравнений (8) и (9) дополнительный член , получим уравнение теплопроводности в цилиндрической системе пространственных координат.

Уравнения эклектического типа

В уравнениях этого типа отсутствует производная от по времени t и описывают стохастическое состояние ОРП.

1) Гельмгольца

(10)

2) Пуассона

(11)

при в уравнении (10)

3) Лапласа (эллиптического типа)

При

(12)

Уравнения (11) и (12) моделируют в распространении температуры потенциала скоростей при стационарном течении несжимаемой жидкости потенциал электрического поля в задачах электрической статики и т.д. при отсутствии или наличии внешних воздействий соответственно.

Уравнение (10) описывает многие физические процессы теплопроводности, диффузии в движущихся средах, напряженности поля и т.д.

Замечание:

В общем случае описание функции не сводится к перечисленным уравнениям так как:

- оператор L может быть нелинейным;

- уравнения могут быть многополярными (в двух или трех мерных пространственных координатах);

- порядок уравнения может быть больше второго;

- поведение СРП может моделироваться не одним, а системой уравнений в частных производных, т.е. описываться векторным уравнением.

Общая характеристика условия однозначности

Начальные условия

Начальная функция в уравнении (2) должна задавать начальные (при ) распределения во всей замкнутой области самой функции состояния и производных по времени t, где - порядок старшей производной в уравнении (1).

(13)

где

в уравнении (2).

Для гиперболических уравнений (5) – (7) должны быть заданы равное:

Для параболических уравнений (8) – (9):

Для электрических уравнений (10) – (12) начальные условия отсутствуют так как там нет производных по времени.