Непрерывно стохастические модели (q-схемы)

Особенностями непрерывно стохастических моделей рассмотрим на примере систем массового обслуживания, которые представляют собой класс математических схем, разработанных теорией управления массовыми процессами.

Основные состояния. В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т.е. имеет место стохастический процесс функционирования систем.

В любом элементарном процессе обслуживания можно выделить две особенных составляющих: ожидание обслуживания и само обслуживание.

Это можно изобразить в виде некоторого i-того прибора обслуживания.

.

Прибор обслуживания Р_i состоит из накопителя заявок N_i, в котором может одновременно находиться заявок.

L_i – емкость i-того накопителя и канала обслуживания заявок K_i.

На каждый элемент прибора поступают потоки событий, в накопитель поток заявок ω_i, на канал поток обслуживания U_i.

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени.

Поток событий называется однородным, ели он характеризуется только моментами времени поступления данных событий, которые называются вызывающими моментами. Такой поток задается последовательностью t_n.

,

где t_n – момент наступления n-ного события, причем t_n­ не отрицательное вещественное число.

Однородный поток может быть также задан в виде последовательности промежутков времени между n-ным и (n-1) событием. Такая последовательность обозначается τ_n, которая одназначна с последовательностью вызывающих моментов t_n.

Поток неоднородных событий называется последовательность , где t_n – вызывающие моменты, f_n – набор признаков события.

Применительно к элементарному каналу K_i, можно считать:

1. Поток заявок ω_i принадлежит множеству заявок W, т.е. интервалы между моментами появления заявок образует подмножество неуправляемых переменных.

2. Поток обслуживания u_i принадлежит множеству U, т.е. интервал времени между началом и окончанием обслуживания заявок образует подмножество управляющих переменных.

3. Заявки, обслуживание каналом и заявок, покинувших прибор по различным причинам образует выходной поток , т.е. интервал времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

4. Процесс функционирования прибора обслуживания P_i можно представить, как процесс изменения его состояния во времени.

Время, за которое происходит изменение состояния объекта, обозначим через Z_i.

Переход в новое состояние для прибора означает изменение количества заявок, которые в нем находятся в канале и накопителе. Таким образом, вектор состояния для прибора P_i будет иметь вид:

,

где - состояние накопителя ( - наполнитель пуст, - накопитель полностью заполнен),

- состояние канала ( - канал пуст, - заполнен).

В практиках моделирования систем, имеющих более сложные структуры связи и алгоритм поведения, используют Q-схемы, образуемые композицией многих элементарных приборов обслуживания. Если каналы К различных приборов соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема).

Если приборы соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание, многофазная Q-схемы.

Таким образом, для создания Q-схемы необходимо оператор сопряжения R, отражающего взаимосвязь элементов структуры каналов и накопителей между собой.

Связи между элементами Q-схемы обозначаются стрелкой.

Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы.

Теории массового обслуживания в зависимости от емкости накопителя существует система с потерями, когда , т.е. накопитель отсутствует, присутствует только канал обслуживания.

И системы с ожиданием, когда , накопитель имеет бесконечную емкость и очередь заявок не ограничивается.

Также существует системы смешанные с ограниченной емкостью накопителя.

Математическая Q-схема описывается следующими векторами переменных:

,

где А – оператор алгоритма поведения заявок.

Оператор А зависит от набора правил, по которым заявки покидают накопитель и канал, для накопителя это правило переполнения, по которым заявки покидают систему, либо правила ухода, связанные с течением времени ожидания заявки. Для канала, это правило выбора маршрута или направления ухода.

Лекция № 6