3. Дискретно-стохастические ( д-с) модели ( р-схемы)

Д-с модели рассматриваются на основе вероятностных автоматов. Вероятностный автомат – это дискретный потактовый преобразователь информации с памятью, функционирование которого обусловлено лишь состоянием памяти и может быть описано статистически. Пусть задано некоторое множество G пар вида (x_i, z_к), где x_i – элементы входного множества, z_к – элементы множества состояний системы Z. Пусть задано некоторые множество F пар вида (z_к, y_j), где y_j – элементы выходного подмножества Y. Пусть любые элементы множества G индуцируют на множестве F некоторый закон распределения:

b₁₁ b₁₂ b_1J b_KJ-1 b_KJ

Элементы из F (z₁, y₁),(z₁, y₂),...(z₁, y_J),... (z_к, y_J-1), (z_к, y_J) (1)

,

где b_кj– вероятность перехода автомата в состояние z_к и появления на его выходе сигнала y_J, если он был в состоянии z_s и на его вход поступил сигнал x_i. Если выходной сигнал Р_авт определяется детерминированно, то такой автомат называется Y-детерминированным автоматом.

Если выбор нового состояния является детерминированным, то такой автомат называется z-детерминированным.

Если множество таблиц типа (1) обозначить через В, то вероятностный автомат можно описать в виде четырех множеств

< X, Y, Z, B >.

Способы задания вероятностных автоматов.

1. С помощью таблиц

В столбцы записываются состояния автомата

Таблица переходов:

Zк	Zк
	z1	z2	...	zK
z1	p11	p12	...	p1к
z2	р21	р22	...	p2к
...	...	...	...	...
zK	рк1	рк2	...	рКК

Таблица выходов:

Z	z1	z2	z3	...	zк
Y	yi1	yi2	yi3	...	yiк

Таблицу переходов можно представить в виде матрицы

Для задания Y-детерминированного Р-автомата также необходимо задать начальное распределение вероятностей вида

Z, z₁, z₂ ... z_к ;

D, d₁, d₂ ... d_к ,

где d_к – вероятность того, что в начальный момент работы автомат находился в состоянии z_к,

Если внести начальное распределение вероятности в матрицу р, то получим:

2. С помощью графов.

Вершинам графа сопоставляются различные состояния, а дугам – возможные переходы. Каждой дуге соответствует некоторые вес, определяемый вероятностью перехода, над вершинами пишутся выходные величины.

Пример.

Пусть задан Y-детерминированный автомат, матрица переходов и таблица выходов.

Необходимо оценить суммарную вероятность пребывания автомата в состоянии z₂ и z₃.

Исключаем первую строку и первый столбец, т.к. начальное распределение не оказывает влияние на финальные вероятности. Запишем уравнение, определяющее финальные вероятности пребывания р-автомата в состоянии z_к.

С₁ = С₄

С₂ = 0,75 C₂ + 0,4 C₃

C₃ = C₁

C₄ = 0,25 C₂ + 0,6 C₃

К полученным уравнениям добавляется условие нормировки: С₁+С₂+С₃+С₄=1

Решая систему найдем: С₁=5/23, C₂=8/23, C₃=5/23, C₄=5/23

C₂+C₃=13/23=0,5652 – суммарная вероятность.