Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекции / Моделирование_презентация.ppt
Скачиваний:
376
Добавлен:
20.02.2014
Размер:
1.82 Mб
Скачать

Уравнения гиперболического типа

Содержат вторые производные, как по времени t, так и по координате х

Описывают колебательные процессы различной природы (механические, электромагнитные звуковые и т.д.) связанные с конечной скоростью распределения волновых явлений.

B A1 B1 C1 0, f x,t 0, A 1,C V 2 , 0

2Q

 

2

2Q

 

 

– волновое уравнение, моделирует процессы

t2 V

 

x2 ,

 

 

распространения свободных колебаний

V 2 const 0, x x0 , x1 ,t 0

2Q

V

2 2Q

 

f x,t

– волновое уравнение, моделирует процессы

t2

 

 

x2

 

 

распространения вынужденных колебаний

2Q

 

1

2Q

b

Q

b Q,

– телеграфное уравнение, описывает

 

 

 

 

 

 

x2

V 2

 

t2

1 t

2

распределение напряжения и тока вдоль

x x0 , x1 ,t 0

 

 

 

длинной электрической линии

V - скорость распространения электромагнитной волны вдоль линии

Уравнения параболического типа

Содержат первую производную по времени t и вторую по координате х

Описывают задачи, связанные с процессами теплопроводности, диффузии, движения вязкой жидкости и т.д .

Q

a

2Q2 ,

Q

a

2Q

f x,t

t

t

 

 

x

 

x2

a const, x x0 , x1 ,t 0

 

 

 

 

- уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

Уравнения эллиптического типа

Отсутствует производная по времени t Описывают статическое состояние объекта СРП .

 

 

2Q

b2Q f x , x x0 , x1

– уравнение Гельмгольца

 

 

x2

 

 

 

 

2Q

 

f x , x x0 , x1

– уравнение Пуассона

 

x2

 

 

 

 

2Q

 

0, x x0 , x1

– уравнение Лапласа

 

 

x

 

 

 

 

 

Общая характеристика условий однозначности

Q x,0 Q0

 

Начальные условия

 

Q0

m 1 x , x D

0 x , Q x,0

Q0

1 x ...

 

Q x,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

tm 1

 

 

 

Для гиперболических уравнений:

 

Для параболических уравнений:

Q0 0 x ,Q0 1 x Q0 x

 

 

 

 

 

 

 

Q0 0 x Q0 x

 

 

Граничные условия

 

 

 

 

Первая краевая задача (задача Дирихле)

 

 

 

Q x,t g x,t ;

 

 

 

 

0

 

 

 

x D,t

 

 

Вторая краевая задача (задача Неймана)

 

 

 

Q x,t

g x,t , x D,t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Третья краевая задача (смешанная задача)

 

x,t Q x,t x,t

Q x,t

g x,t , x D,t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

Основное соотношение вход – выход

Краевая задача:

A x,t

2Q

A1 x,t

Q

C x,t

2Q

B1 x,t

Q

C1 x,t Q

 

t

 

 

 

t2

 

x2

 

 

 

x

 

 

f x,t,u x,t , x0 x x1,t 0

 

Q x1t

 

 

Q x,0 Q0 0 x ;

 

x0 ,t Q x0 ,t x0 ,t

 

g1 t,u0 t ,t 0

 

 

 

Q x,0 Q0 0 x ,

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x1,t Q x1 ,t x1 ,t

Q x1,t

 

g1 t,u1 t

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x0 x x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение краевой задачи в интегральной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

Q x,t x1 N0 x, ,t Q0 0 d x1 N1 x, ,t

Q0 1 d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g x, ,t, f , ,u , d d

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

k1 x,t, g1

,u1 d k2 x,t, g2 ,u2

d

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция Грина

L G x, ,t, x 0 t 0 , x x0 , x1 ,t 0

 

 

N G x, ,t, 0, x x0 , x1 ,t 0

 

G x, ,t, 0, x x1, x2 ,t 0

 

 

Стандартизирующая функция

 

 

L Q x,t x,t , x x0 , x1 ,t 0

Решение краевой задачи в стандартной форме:

 

 

 

t x1

 

 

N Q x,t 0, x x0 , x1 ,t 0

 

 

Q x,t G x, ,t, d d

 

 

 

Q x,t 0, x x1 x2 ,t 0

0 x0

 

 

 

Передаточные функции объектов СРП

 

~

t x1

 

 

 

Lt Q x,t Q x, p

Lt G x, ,t, , d d

 

 

 

0 x0

 

 

 

x1 ~

~

~

~

 

 

G x, , p , p

d G x, , p , p

 

 

x0

 

 

 

 

 

~

W (x, , p) G x, , p

Соединение распределенных блоков

Параллельное соединение распределенных блоков

~

 

 

 

 

 

~

(1)

, p)

~

 

(2)

 

x1 (1)

(1)

 

 

x1

( 2 ) ~

2

, , p , p d

Q x, p

Q1

(x1

Q x

 

, p G(x

 

, , p) , p d G2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 (1)

 

 

 

x 0

( 2 )

 

 

 

x1

 

~

x

1

, , p

~

 

2

, ,

~

 

 

x1

~

, p d

 

 

 

G1

 

G2 x

 

p

, p d W x, , p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

W(x, , p) W (x 1 , , p) W (x 2 , , p) x 1 D1; x 2 D2; x D D1 D2

Соединение распределенных блоков

Последовательное соединение распределенных блоков

Для каждого из блоков запишем соотношение, связывающего вход и выход

~

 

~

 

Q x, p W2

(x, , p) Q1( , p)

~

 

~

, p

Q1

(x, p) W1(x, , p)

Свойство некоммунитативности:

W2 (x, , p) W1 ( , , p) W1 , , p W2 x, , p

Вопросы для самопроверки

1)Как записывается краевая задача в общем виде?

2)Что называется начальной функцией?

3)Что описывают граничные условия?

4)Как по внешнему виду определить уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов?

5)Какие процессы описывают уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов?

6)Какие начальные условия записывают для уравнения гиперболического типа?

7)Как выглядят начальные условия для уравнений эллиптического типа?

8)Как записываются граничные условия для первой, второй и третьей краевых задач?

9)Что собой представляет функция Грина и стандартизирующая функция?

10)Какие выделяют типовые распределенные блоки?

11)Как рассчитывается передаточная функция паралелльно соединенных блоков?

12)Почему последовательное соединение называется некоммутативным?

Список литературы:

1.Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами: Учеб. пособие / Э.Я.Рапопорт. – М.: Высш.шк., 2003. – 299с.: ил.

2.Бутковский А.Г. Характеристика систем с распределенными параметрами / А.Г.Бутковский. – М.: Наука, 1979.

Тема 6. Моделирование на макроуровне

Цель и задачи: изучить методы моделирования макроуровня, ознакомится с компонентными и топологическими уравнениями гидравлической, механической, тепловой и электрической систем, способами представления моделей на макроуровне, методами формирования и анализ моделей.

Учебные вопросы:

6.1Основные понятия макроуровня

6.2Компонентные и топологические уравнения

6.3Компонентные и топологические уравнения механической системы

6.4Компонентные, топологические уравнения гидравлической системы

6.5Компонентные и топологические уравнения тепловой системы

6.6Компонентные и топологические уравнения электрической системы

6.7Параметры гидравлической системы

6.8Графические формы представления математической модели

6.9Матричная форма представления математической модели

6.10Узловой метод формирования математической модели

6.11Задачи качественного анализа математической модели

6.12Моделирование и анализ статических состояний

Компонентные и топологические уравнения

Компонентные уравнения, выражающие связь между фазовой переменной типа (ФПТ) потока и потенциала, получают на основе физических законов.

Инерционный элемент

uи

И

dIu

И, D, У- параметры инерционных,

dt

 

 

 

диссипативных и упругих элементов

Диссипативный элемент

u Д D I Д

I-ФПТ потока, u -ФПТ потенциала

 

 

 

 

Упругий элемент uy У Iy dt

Топологические уравнения, выражающие условие равновесия и непрерывности фазовых переменных, объединяют все компонентные уравнения элементов в общую систему уравнений

Условие равновесия, записываемое для ФПТ потенциала

ui 0

i

Условие непрерывности для ФПТ потока

Ik 0

k