Уравнения гиперболического типа
Содержат вторые производные, как по времени t, так и по координате х
Описывают колебательные процессы различной природы (механические, электромагнитные звуковые и т.д.) связанные с конечной скоростью распределения волновых явлений.
B A1 B1 C1 0, f x,t 0, A 1,C V 2 , 0
2Q |
|
2 |
2Q |
|
|
– волновое уравнение, моделирует процессы |
t2 V |
|
x2 , |
|
|
распространения свободных колебаний |
|
V 2 const 0, x x0 , x1 ,t 0 |
||||||
2Q |
V |
2 2Q |
|
f x,t |
– волновое уравнение, моделирует процессы |
|
t2 |
|
|
x2 |
|
|
распространения вынужденных колебаний |
2Q |
|
1 |
2Q |
b |
Q |
b Q, |
– телеграфное уравнение, описывает |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
V 2 |
|
t2 |
1 t |
2 |
распределение напряжения и тока вдоль |
||
x x0 , x1 ,t 0 |
|
|
|
длинной электрической линии |
||||
V - скорость распространения электромагнитной волны вдоль линии
Уравнения параболического типа
Содержат первую производную по времени t и вторую по координате х
Описывают задачи, связанные с процессами теплопроводности, диффузии, движения вязкой жидкости и т.д .
Q |
a |
2Q2 , |
Q |
a |
2Q |
f x,t |
t |
t |
|
||||
|
x |
|
x2 |
|||
a const, x x0 , x1 ,t 0 |
|
|
|
|
||
- уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)
Уравнения эллиптического типа
Отсутствует производная по времени t Описывают статическое состояние объекта СРП .
|
|
2Q |
b2Q f x , x x0 , x1 |
– уравнение Гельмгольца |
||
|
|
x2 |
||||
|
|
|
|
|||
2Q |
|
f x , x x0 , x1 |
– уравнение Пуассона |
|||
|
x2 |
|||||
|
|
|
||||
|
2Q |
|
0, x x0 , x1 |
– уравнение Лапласа |
||
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|||
|
Общая характеристика условий однозначности |
||||||||||||
Q x,0 Q0 |
|
Начальные условия |
|
Q0 |
m 1 x , x D |
||||||||
0 x , Q x,0 |
Q0 |
1 x ... |
|
Q x,0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
tm 1 |
|
|
|
Для гиперболических уравнений: |
|
Для параболических уравнений: |
|||||||||||
Q0 0 x ,Q0 1 x Q0 x |
|
|
|
|
|
|
|
Q0 0 x Q0 x |
|||||
|
|
Граничные условия |
|
|
|
||||||||
|
Первая краевая задача (задача Дирихле) |
|
|||||||||||
|
|
Q x,t g x,t ; |
|
|
|
|
0 |
|
|||||
|
|
x D,t |
|
||||||||||
|
Вторая краевая задача (задача Неймана) |
|
|||||||||||
|
|
Q x,t |
g x,t , x D,t 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Третья краевая задача (смешанная задача) |
|
|||||||||||
x,t Q x,t x,t |
Q x,t |
g x,t , x D,t 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n
Основное соотношение вход – выход
Краевая задача:
A x,t |
2Q |
A1 x,t |
Q |
C x,t |
2Q |
B1 x,t |
Q |
C1 x,t Q |
|||||
|
t |
|
|
||||||||||
|
t2 |
|
x2 |
|
|
|
x |
|
|
||||
f x,t,u x,t , x0 x x1,t 0 |
|
Q x1t |
|
|
|||||||||
Q x,0 Q0 0 x ; |
|
x0 ,t Q x0 ,t x0 ,t |
|
g1 t,u0 t ,t 0 |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
Q x,0 Q0 0 x , |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
x1,t Q x1 ,t x1 ,t |
Q x1,t |
|
g1 t,u1 t |
|||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
||||||||
x0 x x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение краевой задачи в интегральной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Q x,t x1 N0 x, ,t Q0 0 d x1 N1 x, ,t |
Q0 1 d |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g x, ,t, f , ,u , d d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k1 x,t, g1 |
,u1 d k2 x,t, g2 ,u2 |
d |
|
|
||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функция Грина
L G x, ,t, x 0 t 0 , x x0 , x1 ,t 0 |
|
|
|
N G x, ,t, 0, x x0 , x1 ,t 0 |
|
|
G x, ,t, 0, x x1, x2 ,t 0 |
|
|
|
Стандартизирующая функция |
|
|
|||
L Q x,t x,t , x x0 , x1 ,t 0 |
Решение краевой задачи в стандартной форме: |
|||||
|
|
|
t x1 |
|
|
|
N Q x,t 0, x x0 , x1 ,t 0 |
|
|
||||
Q x,t G x, ,t, d d |
||||||
|
|
|
||||
Q x,t 0, x x1 x2 ,t 0 |
0 x0 |
|
|
|||
|
Передаточные функции объектов СРП |
|||||
|
~ |
t x1 |
|
|
|
|
Lt Q x,t Q x, p |
Lt G x, ,t, , d d |
|
||||
|
|
0 x0 |
|
|
|
|
x1 ~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
G x, , p , p |
d G x, , p , p |
|
|
|||
x0 |
|
|
|
|
|
|
~
W (x, , p) G x, , p
Соединение распределенных блоков
Параллельное соединение распределенных блоков
~ |
|
|
|
|
|
~ |
(1) |
, p) |
~ |
|
(2) |
|
x1 (1) |
(1) |
|
|
x1 |
( 2 ) ~ |
2 |
, , p , p d |
|
Q x, p |
Q1 |
(x1 |
Q x |
|
, p G(x |
|
, , p) , p d G2 |
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 (1) |
|
|
|
x 0 |
( 2 ) |
|
|
|
x1 |
|
~ |
x |
1 |
, , p |
~ |
|
2 |
, , |
~ |
|
|
x1 |
~ |
, p d |
|
|
|||
|
G1 |
|
G2 x |
|
p |
, p d W x, , p |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
W(x, , p) W (x 1 , , p) W (x 2 , , p) x 1 D1; x 2 D2; x D D1 D2
Соединение распределенных блоков
Последовательное соединение распределенных блоков
Для каждого из блоков запишем соотношение, связывающего вход и выход
~ |
|
~ |
|
Q x, p W2 |
(x, , p) Q1( , p) |
||
~ |
|
~ |
, p |
Q1 |
(x, p) W1(x, , p) |
||
Свойство некоммунитативности:
W2 (x, , p) W1 ( , , p) W1 , , p W2 x, , p
Вопросы для самопроверки
1)Как записывается краевая задача в общем виде?
2)Что называется начальной функцией?
3)Что описывают граничные условия?
4)Как по внешнему виду определить уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов?
5)Какие процессы описывают уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов?
6)Какие начальные условия записывают для уравнения гиперболического типа?
7)Как выглядят начальные условия для уравнений эллиптического типа?
8)Как записываются граничные условия для первой, второй и третьей краевых задач?
9)Что собой представляет функция Грина и стандартизирующая функция?
10)Какие выделяют типовые распределенные блоки?
11)Как рассчитывается передаточная функция паралелльно соединенных блоков?
12)Почему последовательное соединение называется некоммутативным?
Список литературы:
1.Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами: Учеб. пособие / Э.Я.Рапопорт. – М.: Высш.шк., 2003. – 299с.: ил.
2.Бутковский А.Г. Характеристика систем с распределенными параметрами / А.Г.Бутковский. – М.: Наука, 1979.
Тема 6. Моделирование на макроуровне
Цель и задачи: изучить методы моделирования макроуровня, ознакомится с компонентными и топологическими уравнениями гидравлической, механической, тепловой и электрической систем, способами представления моделей на макроуровне, методами формирования и анализ моделей.
Учебные вопросы:
6.1Основные понятия макроуровня
6.2Компонентные и топологические уравнения
6.3Компонентные и топологические уравнения механической системы
6.4Компонентные, топологические уравнения гидравлической системы
6.5Компонентные и топологические уравнения тепловой системы
6.6Компонентные и топологические уравнения электрической системы
6.7Параметры гидравлической системы
6.8Графические формы представления математической модели
6.9Матричная форма представления математической модели
6.10Узловой метод формирования математической модели
6.11Задачи качественного анализа математической модели
6.12Моделирование и анализ статических состояний
Компонентные и топологические уравнения
Компонентные уравнения, выражающие связь между фазовой переменной типа (ФПТ) потока и потенциала, получают на основе физических законов.
Инерционный элемент |
uи |
И |
dIu |
И, D, У- параметры инерционных, |
|
dt |
|||||
|
|
|
диссипативных и упругих элементов |
||
Диссипативный элемент |
u Д D I Д |
I-ФПТ потока, u -ФПТ потенциала |
|||
|
|
|
|
||
Упругий элемент uy У Iy dt
Топологические уравнения, выражающие условие равновесия и непрерывности фазовых переменных, объединяют все компонентные уравнения элементов в общую систему уравнений
Условие равновесия, записываемое для ФПТ потенциала
ui 0
i
Условие непрерывности для ФПТ потока
Ik 0
k