2. Формулы Фробениуса для симметричной матрицы.

Задана исходная матрица S:

еслиS симметричная матрица, тоS= S^T

из условия симметричной матрицы, имеем:

А=A^T (21)

B=C^T; B^T=C (22)

D=D^T (23)

В первой формуле(12)Фробениусарассмотрим выражение:

А^1ВW^1CA^1

Вместо C с учетом(22)подставим B^T, получим

A^1BW^1B^TA^1 (24)

С учетом леммы о транспонировании произведения матриц и с учетом (1),имеем после транспонирования:

(А^1В)^Т=В^Т(А^1)^Т=В^ТА^1

обозначим А^1В=Н (25)

тогда В^ТА^1=Н^Т (26)

С учетом (25) и (26) выражение (12) будет иметь вид:

С учетом леммы о транспонировании произведения матриц и симметричности матрицы W, имеем:

W^-1H^T= (HW^-1)^T

И окончательно первая формулаФробениуса для симметричной матрицы имеет вид:

(27)

где W = (D – H^TB)

Аналогичным образом может модифицировать вторую формулу Фробениуса(20). Вводим матрицуG=BD^1, тогдаD^1C=G^T.

Окончательно имеем вторую формулу Фробениуса для симметричной матрицы:

(28)

где V = (A-GC)

Лекция 11

2. Следствие 1.Блочная нижняя треугольная матрица

Очень часто имеем матрицу вида:

(29)

Для обращения блочной нижней треугольной матрицы нет необходимости в обращении всей матрицы, достаточно обратить ее диагональные блоки. Например:

Докажем справедливость выражения (29):

2. Следствие 2.Блочная верхняя треугольная матрица

(30)

2. Следствие 3.Блочно-диагональная матрица

(31)

Лекция 12

10. Метод окаймления.

Метод базируется на первой формуле Фробениусаи позволяет решить две проблемы:

1. коррекция обратной матрицы, при добавлении в исходную новой строки и столбца;

2. обращение матрицы.

Рассмотрим первую формулу Фробениуса(12),в случае разбиение матрицы на следующие блоки, т.е, когда известна обратная матрица матрицаА^-1

для матрицы А:

,(1)

тогда имеем:

w = aVA^1U, - скаляр, тогда (2)

= w^-1 = 1/( aVA^1U) (3)

обозначим

R = A^1U (4)

S = VA^1 (5)

(6)

Обобщенный алгоритм коррекции обратной матрицы, при добавлении в исходную новой строки и столбца- реализация формул(4)(6):

-

1. R=A^1U

2. S=VA^1

3. (7)

4. R, S

5. A^-1+ RS

Обращение матрицы.

Необходимо обратить матрицу А, размерностиn*n. Выделим в ней матрицу размерности 2*2 и разобъем ее на блоки:

применив алгоритм (7), имеем:

1. A₁₁^-1 = 1/ a₁₁

2. U=[a12]

3. V=[a21]

4. R = A₁₁^-1 U=(1/ a₁₁) [a₁₂]

5. S = VA1=(1/ a₁₁) [a₂₁]

6. 

7. R, S

8. A^-1+ RS

После 1-го шага матрица имеет вид:

Выделим в ней матрицу размерности 3*3:

2. A₁₁^-1 = 1/ a₁₁

3. U=[a₁₂ a₁₃]

4. V=[a₂₁ a₃₁]

5. R = A₂₂^-1 U= A₂₂^-1 [a₁₂ a₁₃]

6. S = V A₂₂^-1 = A₂₂^-1 [a₂₁ a₃₁]^T

7. 

2. R, S

3. A^-1+ RS

А^1i=1, n1

И так далее…

Алгоритм окаймления:

1. а₁₁=1/а₁₁

2. i=1, n-1 номер шага

3. j=i+1

j -номер столбца матрицыА, соответствующеговекторуU, или же номер строки матрицыА, соответствующейвектору V, на текущем шаге окаймления. Этот же индексjопределяет координаты скаляра в матрицеА(j,j).

4. k=1,j

kопределяет количество элементов вектораU, вектораVнаiом шаге окаймления.

V(k)=a(j,k)

U(k)=a(k,j)

5. A*UR нахождение векторов R и S

V*AS

6. нахождение скаляра и запись его в матрицу А

a(j,j)=1/(a(j,j) )

7. RR; SS

R(k)=a(j,j)*R(k)

a(j,k)=R(k)

a(k,j)=a(j,j)*S(k)

8. A+RSA