5. Элементы теории матриц

1. Основные определения

1. Матрица  прямоугольная таблица вида

, гдеm- число строк, n-число столбцов

обозначается А_mn или[А_mn], или[А], или простоA, может быть вещественной и комплексной.

2. Матрицаназывается комплексной,

если хотя бы один элемент комплексный, т.е. .

2. Комплексносопряженнаяматрица:

3. Квадратнаяматрицаm=n

2. Матрицастолбец,n=1:

2. Матрицастрока,m=1:

3. Диагональная матрица – это квадратнаяматрица, вида

, т.е.d_ij=0 для всех ij

или [d₁₁,d₂₂,...,d_nn]или или[d₁,d₂,...,d_n]илиdiag[D]

2. Скалярная матрица–диагональная, у которой d₁=d₂=...=d_n=S

3. Единичная матрица-скалярная,у которой d₁=d₂=...=d_n=1, обозначается [Е] или E

4. Нулевая матрицаa_ij=0, для всехi,j

5. Нижняятреугольнаяматрица

, т.е.a_ij=0, для всехi < j

2. Верхняятреугольнаяматрица

, т.е.a_ij=0, для всехi > j

1. Операции над матрицами

1. Сложение матриц

С=А+В, с_ij=а_ij+b_ij, i=1,m; j=1,n

операция коммутативна и ассоциативна

А+В=В+А

А+(В+С)=(А+В)+С

2. Умножение матрицы на скаляр

С=А

c_ij= a_ij , i=1,m; j=1,n

Свойства:

 (А+В)=А+В

(+)А=А+А

А= (А)

(АВ)=А+(ЕВ)

3. Транспонирование

Транспонированной по отношению к матрице Аназывается матрицаА^T, для которойa^t_ij=a_ji.. Имеют место соотношения:

(А)^Т=А^Т

(А+В)^Т=А^Т+В^Т

(АВ)^Т=В^ТА^Т

(А₁,А₂,…,А_n)^Т=А^Т_n…А^Т₂А^Т₁

(А^Т)^Т=А

(DA)^T=A^TD, где D- диагональная

(AD)^T=DA^T

но (DA)^T(AD)^T

AB=BAтолько, если обе матрицы диагональные

4. Симметричная матрица – квадратная, для которой

А=А^Т

5. Сопряженная матрица матрица

есть комплексносопряженная и транспонированная по отношению к исходной

Лемма: Эрмитова матрицаэто матрица, для которой

(для симметричной матрицы в вещественном пространстве)

6. След матрицы

trA =a_ii , i=1,n - сумма диагональных элементов

Имеют место соотношения:

trA= trA^T

tr(A)=  trA

tr(A+B)= trA+ trB

tr(AB)= trA trB

7. Скалярное произведение двух комплексных векторов

Условие существования- одинаковая размерность векторов.

8. Векторное (внешнее) произведение двух комплексных векторов

Примечание:

векторное произведение в отличие от скалярного существует всегда

Лекция 6

9. Произведение матриц

Произведением двух матриц А, размерностиm_*k и В размерностиk_*nназывается матрица С размерностиm_* n, каждый элемент которой являетсяскалярным произведениемi–ойстроки матрицыАнаj–ыйстолбец матрицыВ

Лемма 1 При умножении прямоугольной матрицыАна диагональную матрицуD справа(АD) необходимо все столбцы матрицыАумножить на соответствующие диагональные элементы матрицыD.

Лемма 2При умножении прямоугольной матрицыАна диагональную матрицуD слева(DА), необходимо все строки матрицыАумножить на соответствующие диагональные элементы матрицыD.

10. Сумма и произведение любых двух треугольных матриц одинакового наименования есть треугольная матрица того же наименования

11. Степень матрицы

АА^Р1=А^Р, где Р>1

Свойства

А^pА^q=A^p+^q

(A^p)^q=A^pq

6. Определители и их свойства

2. Перестановка совокупность чисел₁,₂,…,_n, из совокупности1, 2, 3, …, n,среди которых нет равных.

2. Нормальная перестановка это совокупность чисел1, 2, 3, …, n.

Пример: нормальная перестановка IIIпорядка 1, 2, 3 (n=3)

2. В множестве N возможно n! перестановок.

Пример

n!=123=6;

(1, 2, 3),(1, 3, 2), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (2, 1, 3), (2, 3, 1)

2. Инверсия

Числа _iиj в перестановке1, 2, …, nобразуют инверсию, которая обозначается, когда

_i>_j, и i<j.

Для того, чтобы посчитать общее количество инверсий в перестановке необходимо для каждого числа в перестановке _i (i=1,n-1)найти числа меньше, т.е._i>_j,(j=i+1, n), стоящие правее.

2. Перестановка четная и нечетная

Перестановка четная если ее числа составляют четное количествоинверсий. Соответственно длянечетной перестановкиее числа составляют нечетное количествоинверсий.

Пример:

(1, 2, 3), =0-четная

(1, 3, 2), =1 - нечетная(2<3)

(3, 1, 2), =2–четная(1<3, 2<3)

2. Определитель квадратной матрицы

Определителемквадратной матрицыАназывается алгебраическая сумма, состоящая изn!членов:

каждый из которых определяется произведением nэлементов матрицы, стоящих в разных строках и столбцах. Член суммы берется со знаком«+», если индексы номеров столбцов₁, ₂, …, _nобразуют четную перестановку (четное числоинверсий) и со знаком«»в противоположном случае.

Примечание:

закон формирования определителя основан на нахождении всех перестановок для множества номеров столбцов. При этом номера строк образуют нормальную перестановку.

Пример:

n=3, n!=6

(1, 2, 3), =0-четная

(3, 1, 2), =2–четная(1<3, 2<3)

(1, 3, 2), =1 - нечетная(2<3)

(3, 2, 1), =3–нечетная(2<3, 1<3,1<2)

(2, 1, 3), =1–нечетная (1<2)

(2, 3, 1) =2–четная (1<2, 1<3)

длянахождения определителя произвольной матрицы необходимо написать подпрограмму генератора перестановок.

2. Свойства определителя.

   1. Определительравен «0», если все элементы столбца (строки) равны «0», или когда столбец (строка) есть линейная комбинация других его строк (столбцов.

   2. При перестановке двух столбцов (строк) определительменяет знак.

   3. Если какойлибо столбец (строку) умножить на скаляр,определительумножается на.

   4. Если всех элементы матрицы умножить на скаляр , то

det(A)= ⁿdet(A).

5. Значение определителяне изменится, если к какомулибо столбцу (строке) добавить линейную комбинацию любых других строк (столбцов).

6. Определители прямой и транспонированной матрицы равны между собой

detA=detA^T.

7. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей

det(AB)=detAdetB.

8. Определитель нижней (верхней) треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

9. Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

10. Для вычисления определителя можно использовать свойства треугольной матрицы, разбив матрицу на треугольные сомножители методом триангуляции:

A=LU

где

;

тогда

det(A)=det(L)det(U)=l₁₁l₂₂...l_nn

11. если для квадратной матрицы А

det(A)=0,

то матрица называется вырожденной и СЛУ решений не имеет;

Если det(A)0, то матрица называется плохо обусловленной, при решении электроэнергетических задач значениеопределителяматрицы Якоби соответствует величине запаса системы (электроэнергетической) по статической устойчивости:

Лекция 7