Новый блок системы с распределенными параметрами Основные понятия срп

Первый этап в развитии ТАУ был связан управлением систем, состояние которых характеризуется поведением во времени t некоторого набора конечного числа n-функций одной переменной t.

.

Подобные системы описываются дифференциальными уравнениями (одним или несколькими) относительно Q(t) и называется системой с сосредоточенными параметрами (ССП).

Модели большого числа ОУ могут быть с достаточной для практических целей точности отнесены к классу ССП. Но на практике любой технический ОУ имеет вполне определенные геометрические размеры, поэтому функция, характеризующая его состояние изменяется в пределах пространственной области, занимаемой объектом, а, следовательно, зависит от вектора х в пространственных координатах являясь функцией Q(x,t) по меньшей мере, двух координат. Если зависимость Q(t) пренебрежительно мала, то такой объект можно отнести к типу ССП. В противном случае этого нельзя сделать без существенных погрешностей в описанных управляющих процессах или даже без потери их качественных особенностей.

Системы, состояния которых описывается функциями нескольких алгоритмов, зависящих как от времени, так и от пространственных координат, получили название СРП.

Основные особенности срп

1) Состояние СРП описывается дифференциальным уравнением в частных производных (содержащие производные функции состояния, как во времени, так и по пространственным координатам), интегральными уравнениями, а также гибкими системами уравнений различной природы математические модели СРП качественно отличаются от ССП.

2) По сравнению с ССП расширяется класс управляющих воздействий за счет пространственно-временных управлений, описываемых подобно управляемому состоянию СРП, функциями нескольких аргументов (t,x), применительно к таким воздействиям становится непригодные стандартные техники исследования ССП.

Базовая функция объектов с распределенными параметрами

Функция состояния Q(x,t) объекта с распределенными параметрами (вход объекта), определенная по пространственной переменной (замкнутой областиD), удовлетворяют уравнению:

(1)

где - открытая часть областиD, не содержащая границы.

L – некоторый заданный оператор (линейная функция Q, в частных производных Q(x,t) различных порядков, интегральный оператор от Q(x,t) и/или x, t).

Конкретный вид L определяется содержанием описываемого процесса.

f(x,t) – известная функция, характеризующая внешнее воздействие на процесс (вход ОРП).

Если , то уравнение (1)однородное, соответственно, если, то уравнение (1) – неоднородное.

Замечание 1:

Если - векторная функция состояния,, где, то уравнение (1) представляет собой системуn-операторных уравнений.

Далее будим считать, что ОРП описывается единственным уравнением (1) для одной функции .

Замечание 2:

В большинстве практических задач L – это дифференциальный оператор. Для единственного решения необходимо его дополнить начальными условиями, которые описываются некоторым линейным оператором N.

(2)

При заданных начальных условиях , описывающих распределение вD, состояние ОРП в начальный момент времени. Если , то начальное условие (2) называется нулевым. Если, то начальное условие (2) называется не нулевым.

Условие (2) необходимо, но недостаточно для выделения единственного решения, что является важной принципиальной особенностью РСП по сравнению с ССП.

Полная система соотношений должна содержать граничные условия, для , которые характеризуют взаимодействиес внешней средой, должны выполняться дляна границеобласти.

(3)

где Г – линейный оператор,

- внешнее воздействие, которое можно рассматривать как второй вход объекта наряду .

Если , то граничные условия однородные. Если, то граничные условия неоднородны.

Уравнения (11)-(13) с заданными линейными дифференциальными операторами L, N, Г, составляющие краевую задачу, являются базовой моделью для математического описания широкого класса ОРП с управляющей выходной функцией состояния и внешними входамии, которые могут фигурировать как в качестве управляющих, так и/или возникающих воздействий.

Иногда в качестве входа объекта выступает начальная функция .

Замечание:

Далее рассматриваются только детерминированные модели.

Функция состояния ОРП представляет собой большинство случаев пространственно-временные характеристики полей различной физической природы, и поэтому с удовлетворительной точностью описываются линейные диффиринциальные уравнения.

Чаще всего уравнение математической функции имеет порядок не выше второго (по номеру старшей производной).

Для простейшего случая пространственной распределённости по одной координате х, изменяющейся на отрезке (одномерная задача), уравнение (1) записывается в виде:

(4)

где А, В, С – заданные функции могут быть равны CONST/

В зависимости от значения, дискриминанты Δ, равные (АВВ²), различают уравнения:

- гиперболического типа (Δ<0),

- параболического типа (Δ=0),

- эллиптического типа (Δ>0),

- смешанного типа (Δ меняет знак в области допустимых изменений x и t).