Непрерывно детерминированные модели (d-схемы)
Используя этот подход в качестве математической модели, применяют диффиринциальные уравнения.
Если в диффиринциальных уравнениях не известны функции многих переменных, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. В противном случае, при рассмотрении функции только одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Математическое состояние для детерминированных систем будет выглядеть:
,
,
где
,
,
- вектор функция,
которая определена на некотором
(n+1)-мерном
множестве и является непрерывной, т.к.
математические схемы такого вида
отражают динамику изучаемой системы,
то они называются D-схемами.
Лекция № 3
Наиболее важно для системотехники приложение D-схем, в качестве математического аппарата в ТАУ.
Для иллюстрации рассмотрим две элементарные системы различной физической природы.
а) Механическая – колебание маятника.
Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида:
,
где
- масса маятника;
- длина подвеса
маятника;
- ускорение
свободного падения;
- угол отклонения
маятника в момент времени t.
Из этого уравнения могут быть получены различные характеристики, например, период колебания маятника:
.
б) электрический контур.
Аналогичны процессы в электрическом контуре, описывается дифференциальное уравнение вида:
,
.
где
и
- индуктивность, и емкость конденсаторов,
- заряд конденсатора
в момент времени t.
Из этого уравнения
также могут быть найдены различные
характеристики, например,
.
Очевидно, что,
введя обозначения:
,
,
,
,
,
получим дифференциальное уравнение
второго порядка:
,
где
- параметры системы;
- состояние системы
в момент времени
t.
Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели, причем поведение одной системы может быть проанализировано с помощью другой и наоборот.
Если изучаемая система маятника или контур взаимодействует с внешней средой, то появляется входное воздействие x(t) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура). Тогда непрерывно детерминированная модель будет иметь вид:
.
Получение передаточной функции из дифференциального уравнения
Передаточная функция равна отношению изображений по Лапласу переменных выходов и входа при нулевых начальных условиях.
Пусть система описывается дифференциальным уравнением второго порядка:
.
Начальные условия:
и
.
Преобразуем уравнение по Лапласу, для чего воспользуемся свойством линейности преобразования, а также теоремой о дифференцирования оригинала.
Теорема о дифференцируемости, оператор Лапласа:
,
.
Также уравнение можно записать в другом виде:
.
Так как мы находим передаточную функцию, то все наши начальные условия равны 0, тогда мы получаем уравнение:
.
Тогда передаточная функция окончательно записывается в виде:
.