Общая характеристика условия однозначности Начальные условия

Начальная функция в уравнении (2) должна задавать начальные (при) распределения во всей замкнутой областисамой функции состоянияипроизводных по времениt, где - порядок старшей производной в уравнении (1).

(13)

где

в уравнении (2).

Для гиперболических уравнений (5) – (7) должны быть заданы равное:

Для параболических уравнений (8) – (9):

Для электрических уравнений (10) – (12) начальные условия отсутствуют так как там нет производных по времени.

Граничные условия

При исследовании процессов в неограниченном пространстве (простейший случай) граничные условия отсутствуют.

При ограниченном объеме области линейный оператор Г в уравнении (3) может иметь один из следующих видов:

1) Граничные условия первого рода (первая краевая задача) – Дирихле.

(14)

То есть должна быть задана сама функция состояния на границе .

2) Граничные условия второго порядка (вторая краевая задача) – Нейман.

(15)

Задается граничная функция состояния на границе пространственной области.

3) Граничные условия третьего рода (третья краевая задача, смешанная задача).

(16)

где и- заданные функции на границе, принимающие в частности постоянные значения.

В общих случаях возможно следующее:

1. На различных участках границы могут задаваться граничные условия различного типа.

2. Для объектов с уравнением первого порядка всегда рассматривается первая краевая задача.

3. Граничные условия значительно упрощаются для области правильной формы.

Лекция № 9

Импульсные переходные функции и основные соотношения вход-выход

Рассмотрим СРП, функция соотношение, которого описывается уравнением (4).

После приведенные к конечной форме записи (не содержащие смешанных производных), это уравнение имеет вид:

(17)

Это уравнение имеет вид (17) с типовыми начальными условиями, которые преобразуют в рассматриваемом одномерном случае, вид:

(18)

, (19)

, (20)

где - входные воздействия, которые в общем случае могут включать внутреннее управление,и, реализуемые за счет внутренних источников энергии или вещества.

Пример:

Индукционный нагрев металлических изделий, в процессе которого внутренние источники тепла возбуждают электромагнитным полем индуктора на основе эффекта ветровых токов.

Основное соотношение, связывающее выход объекта при заданном начальном состоянии с выходными воздействиями, определяется общим решением, представленном в следующей интегральной форме:

(21)

где и- переменные интегральные по пространственной координате и времени соответственно.

Первый и второй интегралы по пространственной координате определяется соответствующей общему решению, соответствующего влияния , начальных распределенийи.

Четвертый и пятый интегралы по времени учитывают сосредоточение входные воздействия и(19)-(20) по граничным условиям.

Третий двойной интеграл по пространственно временной области изменения пространственно и временногоаргумента распределенного входного воздействияи отражает его вклад в реакцию объекта.

- ядра линейных интегральных операторов.

В частности в третьем интеграле есть функция Грина.