5.2 Общая характеристика условий однозначности

5.2.1. Начальные условия

Начальная функция в уравнении (5.2) должна задавать начальные (при ) распределение во все замкнутые области самой функции состояния и ее производных по времени , где - порядок старшей производной в уравнении (5.1). Т.е. мы должны иметь значения следующих функций:

(5.11)

в уравнение (5.2)

Для гиперболических уравнений:

сама функция и ее первая производная – начальные условия.

Для параболических уравнений:

задается только сама функция в начальный момент времени.

Для эллиптических уравнений:

Начальные условия отсутствует, т.к. не зависят от .

5.2.2. Граничные условия

При исследовании процессов в неограниченном пространстве граничные условия отсутствуют. При ограниченном объема области линейный оператор в уравнении (5.3) может иметь один из следующих видов:

• Первая краевая задача (задача Дерихле)

• Вторая краевая задача (задача Неймана) (граничное условие второго рода)

- Нормаль к точке.

Т.е. задается градиент функции состояния на границе пространственной области.

• Третья краевая задача (смешанная задача) (граничное условие третьего рода)

- заданная функция на границе области, в частности, постоянное значение.

В общем случае возможно следующее:

1. на различных участках границы могут задаваться граничные условия разного типа.

2. для объектов с уравнением первого порядка (одна пространственная координата), как правило, рассматривается первая краевая задача.

3. граничные условия значительно упрощаются для областей правильной формы (пластина, цилиндр, шар и т.д.)

5.3 Основное соотношение вход – выход

Рассмотрим СРП, функция состояния, которой описывается уравнением (5.4), которое после приведения к канонической форме записи (не содержащих смешанных производных) имеет вид:

(5.12)

С типовыми начальными и граничными условиями, которые приобретают в рассматриваемом одномерном случае вид.

(5.13)

(5.14)

(5.15)

Коэффициенты в общем случае не совпадают с (5.4).

- входное воздействие, которые в общем случае могут включать внутреннее управление реализуемые за счет внутренних источников энергии или вещества.

Основное соотношение, связывающее выход объекта при заданном начальном состоянии с входными воздействиями, определяется общим решением, представленным следующей интегральной формой.

(5.16)

- переменные интегрирования по пространственной координате и времени соответственно (входные переменные)

Первый и второй интегралы по пространственной координате определяют составляющую общего решения, описывающую влияние на начальных распределений .

Четвертый и пятый интегралы во времени учитывают сосредоточенные входные воздействия на границе области на общее решение.

Третий интеграл – двойной интеграл по пространственно- временной области изменения пространственного и временного аргумента распределенного входного воздействия , отражает вклад последнего в реакцию объекта.

- ядра линейных интегральных операторов (функции влияния)

-

Обозначим

- пространственно – временная композиция

- свертка